Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2 trong chương trình Toán 12 tập 1, thuộc chương 1 về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, là một phần quan trọng giúp học sinh nắm vững phương pháp tìm cực trị của hàm số. Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo kiến thức này không chỉ cần thiết cho việc giải các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các bài toán nâng cao và ứng dụng thực tế.

I. Lý thuyết cơ bản

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên một khoảng (a, b), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 và các điểm x mà f'(x) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a, b) dựa vào bảng biến thiên.

Lưu ý:

• Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a, b], giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số luôn tồn tại.
• Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có thể xảy ra tại các điểm tới hạn hoặc tại các đầu mút của khoảng (a, b).

II. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1, 3].

Giải:

1. f'(x) = 3x² - 6x
2. Giải f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
3. Lập bảng biến thiên:

x	-1	0	2	3
f'(x)	+	-	+	+
f(x)	-6	2	-2	8

4. Kết luận: Giá trị lớn nhất của f(x) trên [-1, 3] là 8 tại x = 3. Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [-1, 3] là -6 tại x = -1.

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên đoạn [0, 4].

Giải: (Tương tự như Dạng 1, nhưng cần xét cả giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn).

Dạng 3: Bài toán tối ưu.

Ví dụ: Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết chu vi của nó bằng 20cm.

Giải: (Đặt ẩn, biểu diễn diện tích theo ẩn, tìm đạo hàm và giải phương trình f'(x) = 0).

III. Mở rộng và nâng cao

Ngoài các phương pháp cơ bản, còn có một số phương pháp nâng cao để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, như sử dụng bất đẳng thức, phương pháp đổi biến, hoặc phương pháp hình học.

IV. Luyện tập

Để nắm vững kiến thức, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như giaitoan.edu.vn.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về bài 2 trong chương trình Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt!