Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tại giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết các bài tập trong mục 2 của chương trình Toán 12 tập 1.
Mục tiêu của chúng tôi là cung cấp cho các em những lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn, có đạo hàm trên các khoảng \(( - 3;1)\)và \((1;6)\) có dồ thị hàm số như hình 1.9, biết rằng \(f( - 3) = - 5\) và \(f(6) = - 2\)
a) Xác định các điểm cực trị thuộc đoạn \([ - 3;6]\) của hàm số
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([ - 3;6]\)
Phương pháp giải:
Dựa vào đồ thị hàm số (hình 1.9) rồi nhận xét
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy
Đồ thị hàm số có các điểm cực trị là \(x = - 3\), \(x = 0\), \(x = 1\),\(x = 3\), \(x = 6\)
b) Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \([ - 3;6]\) tại \(x = 3\)
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng \([ - 3;6]\) tại \(x = - 3\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) trên đoạn \([2;4]\)
Phương pháp giải:
Bước 1 Tính \(y'\)
Bước 2 Lập bảng biến thiên
Bước 3 Suy ra điểm có giá trị lớn nhất, điểm có giá trị bé nhất của hàm số trên đoạn \([2;4]\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số trên xác định trên R/{1}
Ta có \(y' = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
Vì \(y' < 0\) với \(x \in R/\{ 1\} \)
Nên hàm số luôn nghịch biến
Khi đó ta có bảng biến thiên là
Từ bảng biến thiên ta thấy
Hàm số y đạt giá trị lớn nhất tại x = 2 khi đó y = 4
Hàm số y đạt giá trị lớn nhất tại x = 4 khi đó y = 2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 12 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = \frac{x^2{{} + 4}}{x}\)
a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho trên mỗi đoạn\([ - 5; - 1]\) và \([ - 4;3]\)
b) Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số đã cho trên các đoạn\([ - 5; - 1]\) và \([ - 4;3]\)
Phương pháp giải:
a) Tìm tập xác định của hàm số
b) Bước 1: Tính \(y'\)
Bước 2: Lập bảng biến thiên
Bước 3: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số trên các đoạn
Lời giải chi tiết:
a) TXĐ: \(x \in R/\{ 0\} \)
Vậy hàm số liên tục trên đoạn \([ - 5; - 1]\)
Và không liên tục trên đoạn \([ - 4;3]\)
Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\)
Xét \(y' = 0\) \( \Rightarrow {x^2} - 4 = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\)
Từ đó ta có bảng biến thiên là
b) Từ bảng biến thiên ta có
Hàm số\ (y = \frac{{{x^2} + 4}}{x}\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng\([ - 5; - 1]\) tại \(x = 1\) khi đó
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4}}{x}\) đạt giá trị bé nhất trên khoảng\([ - 5; - 1]\) tại điểm \(x = - 5\) khi đó
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4}}{x}\) đạt giá trị lớn nhất \([ - 4;3]\) trên khoảng tại điểm
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4}}{x}\) đạt giá trị bé nhất \([ - 4;3]\) trên khoảng tại điểm
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 12 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = \frac{x^2{{} + 4}}{x}\)
a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho trên mỗi đoạn\([ - 5; - 1]\) và \([ - 4;3]\)
b) Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số đã cho trên các đoạn\([ - 5; - 1]\) và \([ - 4;3]\)
Phương pháp giải:
a) Tìm tập xác định của hàm số
b) Bước 1: Tính \(y'\)
Bước 2: Lập bảng biến thiên
Bước 3: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số trên các đoạn
Lời giải chi tiết:
a) TXĐ: \(x \in R/\{ 0\} \)
Vậy hàm số liên tục trên đoạn \([ - 5; - 1]\)
Và không liên tục trên đoạn \([ - 4;3]\)
Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\)
Xét \(y' = 0\) \( \Rightarrow {x^2} - 4 = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\)
Từ đó ta có bảng biến thiên là
b) Từ bảng biến thiên ta có
Hàm số\ (y = \frac{{{x^2} + 4}}{x}\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng\([ - 5; - 1]\) tại \(x = 1\) khi đó
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4}}{x}\) đạt giá trị bé nhất trên khoảng\([ - 5; - 1]\) tại điểm \(x = - 5\) khi đó
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4}}{x}\) đạt giá trị lớn nhất \([ - 4;3]\) trên khoảng tại điểm
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4}}{x}\) đạt giá trị bé nhất \([ - 4;3]\) trên khoảng tại điểm
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn, có đạo hàm trên các khoảng \(( - 3;1)\)và \((1;6)\) có dồ thị hàm số như hình 1.9, biết rằng \(f( - 3) = - 5\) và \(f(6) = - 2\)
a) Xác định các điểm cực trị thuộc đoạn \([ - 3;6]\) của hàm số
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([ - 3;6]\)
Phương pháp giải:
Dựa vào đồ thị hàm số (hình 1.9) rồi nhận xét
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy
Đồ thị hàm số có các điểm cực trị là \(x = - 3\), \(x = 0\), \(x = 1\),\(x = 3\), \(x = 6\)
b) Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \([ - 3;6]\) tại \(x = 3\)
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng \([ - 3;6]\) tại \(x = - 3\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) trên đoạn \([2;4]\)
Phương pháp giải:
Bước 1 Tính \(y'\)
Bước 2 Lập bảng biến thiên
Bước 3 Suy ra điểm có giá trị lớn nhất, điểm có giá trị bé nhất của hàm số trên đoạn \([2;4]\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số trên xác định trên R/{1}
Ta có \(y' = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
Vì \(y' < 0\) với \(x \in R/\{ 1\} \)
Nên hàm số luôn nghịch biến
Khi đó ta có bảng biến thiên là
Từ bảng biến thiên ta thấy
Hàm số y đạt giá trị lớn nhất tại x = 2 khi đó y = 4
Hàm số y đạt giá trị lớn nhất tại x = 4 khi đó y = 2
Mục 2 trong SGK Toán 12 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, ví dụ như giới hạn của hàm số, đạo hàm, hoặc các ứng dụng của đạo hàm. Việc nắm vững kiến thức trong mục này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.
Bài 1 thường là các bài tập cơ bản về định nghĩa giới hạn, cách tính giới hạn của hàm số tại một điểm. Các em cần nắm vững các quy tắc tính giới hạn và áp dụng chúng một cách linh hoạt.
Bài 2 có thể là các bài tập về giới hạn vô cùng, giới hạn một bên. Các em cần hiểu rõ khái niệm về giới hạn vô cùng và cách xác định giới hạn một bên.
Bài 3 thường là các bài tập tổng hợp, kết hợp nhiều kiến thức khác nhau trong mục 2. Các em cần có khả năng phân tích và tổng hợp kiến thức để giải quyết bài toán.
Ví dụ, bài toán có thể yêu cầu tính giới hạn của một hàm số phức tạp, hoặc chứng minh một đẳng thức liên quan đến giới hạn.
Để giải bài tập Toán 12 hiệu quả, các em cần:
Kiến thức về giới hạn và đạo hàm có ứng dụng rất lớn trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như vật lý, kinh tế, và kỹ thuật. Ví dụ, giới hạn được sử dụng để tính vận tốc tức thời của một vật thể, đạo hàm được sử dụng để tìm điểm cực trị của một hàm số.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) | Giới hạn của tổng bằng tổng các giới hạn |
| lim (f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x) | Giới hạn của tích bằng tích các giới hạn |
Hy vọng rằng với những giải thích chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả trên đây, các em sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán trong mục 2 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tốt!
