Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2 trong chương 3 của sách Toán 11 tập 1, Cánh diều, tập trung vào khái niệm giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm then chốt để hiểu sâu hơn về tính liên tục của hàm số và là nền tảng cho các kiến thức giải tích nâng cao.

1. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Định nghĩa này được thể hiện qua các điều kiện sau:

Với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε.

Trong đó, L là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a.

2. Các tính chất của giới hạn

Việc nắm vững các tính chất của giới hạn sẽ giúp chúng ta tính toán giới hạn một cách nhanh chóng và hiệu quả. Một số tính chất quan trọng bao gồm:

Giới hạn của một tổng: lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
Giới hạn của một tích: lim_x→a [f(x) * g(x)] = lim_x→a f(x) * lim_x→a g(x)
Giới hạn của một thương: lim_x→a [f(x) / g(x)] = lim_x→a f(x) / lim_x→a g(x) (với lim_x→a g(x) ≠ 0)
Giới hạn của một hằng số: lim_x→a c = c (với c là hằng số)

3. Các dạng giới hạn thường gặp

Trong quá trình giải toán, chúng ta thường gặp một số dạng giới hạn quen thuộc. Dưới đây là một số ví dụ:

Giới hạn của hàm đa thức: lim_x→a P(x) = P(a)
Giới hạn của hàm hữu tỉ: Cần xét các trường hợp mẫu số khác 0 và mẫu số bằng 0.
Giới hạn của hàm lượng giác: Sử dụng các công thức lượng giác và giới hạn đặc biệt như lim_x→0 sin(x)/x = 1 và lim_x→0 (1 - cos(x))/x = 0.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² + 3x - 1)

Áp dụng tính chất giới hạn của hàm đa thức, ta có: lim_x→2 (x² + 3x - 1) = 2² + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9

Ví dụ 2: Tính lim_x→1 (x² - 1) / (x - 1)

Ta có: (x² - 1) / (x - 1) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1 (với x ≠ 1). Do đó, lim_x→1 (x² - 1) / (x - 1) = lim_x→1 (x + 1) = 1 + 1 = 2

5. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử giải các bài tập sau:

Tính lim_x→3 (2x² - 5x + 1)
Tính lim_x→0 sin(2x) / x
Tính lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1)

6. Kết luận

Bài 2. Giới hạn của hàm số là một bước quan trọng trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức giải tích tiếp theo. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và các dạng giới hạn thường gặp sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến giới hạn hàm số.