Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Giới hạn của hàm số, một trong những chủ đề quan trọng nhất trong chương trình Toán 11 Cánh Diều. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản, các định nghĩa, tính chất và ứng dụng của giới hạn hàm số một cách dễ hiểu nhất.
Giaitoan.edu.vn tự hào là nền tảng học toán online uy tín, mang đến cho bạn trải nghiệm học tập hiệu quả và thú vị. Hãy cùng chúng tôi khám phá thế giới Toán học!
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm \({x_0}\)và hàm số \(f(x)\) xác định trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to L\)
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\), khi \({x_n} \to {x_0}\).
2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
a, Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\)\(\left( {L,M \in \mathbb{R}} \right)\)thì
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)\)
b, Nếu \(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \).
3. Giới hạn một phía
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L\).
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Số L là giới hạn bên của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\).
*Nhận xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\)
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to + \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to + \infty \).
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;b} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to - \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì \({x_n} < b\) và \({x_n} \to - \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to - \infty \).
* Nhận xét:
- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\),\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{c}{{{x^k}}}) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{c}{{{x^k}}}) = 0\).
III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( + \infty \) khi \(x \to {a^ + }\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to a\)ta có \(f({x_n}) \to + \infty \).
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty \)hay \(f(x) \to + \infty \) khi \(x \to {a^ + }\)
- Các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = - \infty \) được định nghĩa tương tự.
IV. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( + \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên trái nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \) ta có \(f({x_n}) \to + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \) hay \(f(x) \to + \infty \) khi \(x \to + \infty \).
- Các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \) được định nghĩa tương tự.
* Chú ý:
Giới hạn của hàm số là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự biến đổi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị nhất định. Trong chương trình Toán 11 Cánh Diều, học sinh sẽ được làm quen với khái niệm này thông qua các bài học về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực và các ứng dụng của giới hạn trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là limx→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Nói cách khác, khi x càng gần a thì f(x) càng gần một giá trị L nào đó. Giá trị L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a.
Việc nắm vững các tính chất của giới hạn giúp chúng ta đơn giản hóa việc tính toán giới hạn của hàm số. Một số tính chất quan trọng bao gồm:
Trong quá trình học tập và giải bài tập, chúng ta thường gặp các dạng giới hạn sau:
Giới hạn có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Ví dụ 1: Tính limx→2 (x2 + 3x - 1)
Giải: Thay x = 2 vào biểu thức, ta được: 22 + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9. Vậy limx→2 (x2 + 3x - 1) = 9.
Ví dụ 2: Tính limx→1 (x2 - 1) / (x - 1)
Giải: Rút gọn biểu thức, ta được: (x2 - 1) / (x - 1) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1. Thay x = 1 vào biểu thức, ta được: 1 + 1 = 2. Vậy limx→1 (x2 - 1) / (x - 1) = 2.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
