Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp - SBT Toán 12 - Cánh diều: Giải chi tiết

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc tìm nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Đây là nền tảng quan trọng để hiểu và vận dụng các kiến thức về tích phân trong các bài học tiếp theo. Dưới đây là giải chi tiết từng bài tập trong SBT Toán 12 Cánh diều:

I. Khái niệm nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm là một quá trình ngược lại với việc tìm đạo hàm. Một hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, chúng khác nhau ở một hằng số cộng. Tổng quát, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.

II. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp

Để giải Bài 2, chúng ta cần nắm vững nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp:

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa: ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
Nguyên hàm của hàm số 1/x: ∫(1/x) dx = ln|x| + C
Nguyên hàm của hàm số e^x: ∫e^x dx = e^x + C
Nguyên hàm của hàm số sin(x): ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
Nguyên hàm của hàm số cos(x): ∫cos(x) dx = sin(x) + C

III. Giải bài tập cụ thể (Ví dụ minh họa)

Bài 2.1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x³ + 3x² - 5.

Giải:

∫(2x³ + 3x² - 5) dx = 2∫x³ dx + 3∫x² dx - 5∫dx

= 2(x⁴/4) + 3(x³/3) - 5x + C

= (x⁴/2) + x³ - 5x + C

Bài 2.2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(x) + cos(x).

Giải:

∫(sin(x) + cos(x)) dx = ∫sin(x) dx + ∫cos(x) dx

= -cos(x) + sin(x) + C

IV. Lưu ý khi tìm nguyên hàm

Luôn thêm hằng số C vào cuối kết quả tìm nguyên hàm.
Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản một cách chính xác.
Biến đổi biểu thức cần tìm nguyên hàm về dạng đơn giản nhất trước khi áp dụng công thức.
Kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm vừa tìm được, xem có bằng hàm số ban đầu hay không.