Bài 2. Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức

Bài học này sẽ đi sâu vào phân tích hai phân bố xác suất rời rạc quan trọng: Phân bố Bernoulli và Phân bố nhị thức. Đây là những khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất và thống kê, đóng vai trò quan trọng trong việc mô hình hóa các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tế.

I. Phân bố Bernoulli

Phân bố Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại của một thử nghiệm duy nhất. Thử nghiệm này chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công (ký hiệu là 1) hoặc thất bại (ký hiệu là 0). Xác suất thành công được ký hiệu là p, và xác suất thất bại là 1 - p.

Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố Bernoulli nếu nó chỉ nhận hai giá trị 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là P(X = 0) = 1 - p và P(X = 1) = p.
Hàm phân phối xác suất:P(X = x) = p^x(1 - p)^1-x, với x = 0 hoặc 1.
Các số đặc trưng:
- Giá trị kỳ vọng: E(X) = p
- Phương sai: Var(X) = p(1 - p)

II. Phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p. Đây là một mở rộng của phân bố Bernoulli khi thực hiện nhiều thử nghiệm độc lập.

Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố nhị thức nếu nó biểu thị số lần thành công trong n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p. Ký hiệu: X ~ B(n, p).
Hàm phân phối xác suất:P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^n-k, với k = 0, 1, 2, ..., n. (C_n^k là tổ hợp chập k của n).
Các số đặc trưng:
- Giá trị kỳ vọng: E(X) = np
- Phương sai: Var(X) = np(1 - p)

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một đồng xu 5 lần. Gọi X là số lần xuất hiện mặt ngửa. Khi đó, X tuân theo phân bố nhị thức với n = 5 và p = 0.5 (giả sử đồng xu cân đối). Tính xác suất để xuất hiện đúng 3 mặt ngửa.

Giải:P(X = 3) = C₅³ (0.5)³ (0.5)² = 10 * 0.125 * 0.25 = 0.3125

Ví dụ 2: Một máy sản xuất bóng đèn có tỷ lệ bóng đèn bị lỗi là 2%. Lấy ngẫu nhiên 100 bóng đèn từ máy. Gọi X là số bóng đèn bị lỗi. Khi đó, X tuân theo phân bố nhị thức với n = 100 và p = 0.02. Tính xác suất để có ít nhất 3 bóng đèn bị lỗi.

IV. Ứng dụng của phân bố Bernoulli và nhị thức

Phân bố Bernoulli và nhị thức có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Kiểm định chất lượng: Xác định tỷ lệ sản phẩm bị lỗi trong một lô hàng.
Nghiên cứu y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc.
Khảo sát ý kiến: Dự đoán kết quả của một cuộc bầu cử.
Phân tích rủi ro: Đánh giá khả năng xảy ra một sự kiện nào đó.

V. Bài tập vận dụng

Một hộp chứa 10 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 7 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được đúng 2 quả bóng đỏ.
Một người bắn súng có xác suất bắn trúng mục tiêu là 0.8. Người đó bắn 5 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng ít nhất 4 phát.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Chúc bạn học tập tốt!