Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn

1. Định nghĩa tứ giác nội tiếp đường tròn

Một tứ giác được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn nếu bốn đỉnh của nó cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác.

2. Điều kiện để một tứ giác nội tiếp đường tròn

Một tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện bằng 180° (hoặc π radian). Tức là:

∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

Chứng minh:

Chiều thuận: Giả sử ∠A + ∠C = 180°. Gọi O là tâm đường tròn đi qua A và C. Khi đó, số đo cung AC bằng 2∠AOC. Vì ∠A + ∠C = 180°, ta có ∠AOC = 180° - ∠A. Do đó, cung AC có số đo bằng 2(180° - ∠A) = 360° - 2∠A. Điều này có nghĩa là B và D cũng nằm trên đường tròn này, suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Chiều nghịch: Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Khi đó, ∠A và ∠C là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD. Do đó, ∠A = ∠DBC và ∠C = ∠DBA. Vì ∠A + ∠C = ∠DBC + ∠DBA = ∠ABD + ∠CBD = 180°, ta có ∠A + ∠C = 180°.

3. Tính chất của tứ giác nội tiếp đường tròn

Ngoài điều kiện để một tứ giác nội tiếp đường tròn, còn có một số tính chất quan trọng sau:

Tính chất 1: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, góc tạo bởi một cạnh và một đường thẳng tiếp xúc tại đỉnh đối diện bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Tính chất 2: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, hai góc đối diện có tổng bằng 180°.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Biết ∠A = 80°. Tính ∠C.

Giải: Vì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn, ta có ∠A + ∠C = 180°. Do đó, ∠C = 180° - ∠A = 180° - 80° = 100°.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho AD là phân giác của góc BAC. Chứng minh tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Giải: Vì AD là phân giác của góc BAC, ta có ∠BAD = ∠CAD. Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có ∠ABE = ∠ACE (cùng chắn cung AE). Mặt khác, ∠ABE = ∠BAD (vì AD là phân giác). Do đó, ∠CAD = ∠ACE. Suy ra tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

5. Mở rộng và nâng cao

Ngoài các kiến thức cơ bản trên, các em có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của tứ giác nội tiếp đường tròn trong việc giải các bài toán hình học phức tạp hơn. Ví dụ, việc sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp để chứng minh các đẳng thức liên quan đến độ dài các cạnh và góc của tứ giác.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn - SGK Toán 9 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!