Bài 24. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 24: Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp - Giải thích chi tiết

Bài 24 thuộc chương VIII: Đại số tổ hợp, tập trung vào ba khái niệm quan trọng: Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp. Việc hiểu rõ sự khác biệt giữa chúng là chìa khóa để giải quyết các bài toán đếm một cách chính xác.

1. Hoán vị (Permutation)

Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính bằng công thức:

P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Chỉnh hợp (Combination with Repetition)

Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp n phần tử, trong đó thứ tự của các phần tử được chọn là quan trọng. Số chỉnh hợp của n phần tử lấy k phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính bằng công thức:

A_n^k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = n! / (n-k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp 5 học sinh để làm nhiệm vụ?

Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A₅² = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5 x 4 = 20

3. Tổ hợp (Combination)

Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử, trong đó thứ tự của các phần tử được chọn không quan trọng. Số tổ hợp của n phần tử lấy k phần tử được ký hiệu là C_n^k và được tính bằng công thức:

C_n^k = n! / (k! * (n-k)!)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 5 học sinh để thành lập một nhóm?

Giải: Số cách chọn là C₅³ = 5! / (3! * 2!) = (5 x 4 x 3!) / (3! x 2 x 1) = 10

Phân biệt Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Sự khác biệt chính giữa Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp nằm ở việc có quan tâm đến thứ tự của các phần tử được chọn hay không:

Hoán vị: Quan tâm đến thứ tự, chọn tất cả các phần tử.
Chỉnh hợp: Quan tâm đến thứ tự, chọn một số phần tử.
Tổ hợp: Không quan tâm đến thứ tự, chọn một số phần tử.

Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, hãy giải các bài tập sau:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?
Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 10 học sinh để tham gia đội văn nghệ?
Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

Việc nắm vững các khái niệm và công thức về Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán đếm và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hãy luyện tập thường xuyên để hiểu rõ hơn về các khái niệm này.

Giaitoan.edu.vn hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Bài 24: Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp. Chúc bạn học tập tốt!