Bài 3. Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong thống kê, các tứ phân vị là những giá trị chia một tập dữ liệu đã được sắp xếp thành bốn phần bằng nhau. Chúng là những công cụ quan trọng để đo lường sự phân tán và xu hướng trung tâm của dữ liệu.

1. Khái niệm về tứ phân vị

Giả sử ta có một mẫu số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm: x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n.

Tứ phân vị thứ nhất (Q₁): Là giá trị chia nhỏ mẫu số liệu thành hai phần, sao cho số các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng Q₁ bằng 25% số lượng giá trị trong mẫu.
Tứ phân vị thứ hai (Q₂): Là giá trị chia nhỏ mẫu số liệu thành hai phần, sao cho số các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng Q₂ bằng 50% số lượng giá trị trong mẫu. Q₂ chính là trung vị của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ ba (Q₃): Là giá trị chia nhỏ mẫu số liệu thành hai phần, sao cho số các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng Q₃ bằng 75% số lượng giá trị trong mẫu.

2. Cách tính tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm

Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, việc tính toán tứ phân vị trở nên phức tạp hơn. Dưới đây là các bước thực hiện:

Tính kích thước của mỗi nhóm: m_i = (b_i - a_i) / h, trong đó a_i là cận dưới của nhóm thứ i, b_i là cận trên của nhóm thứ i, và h là khoảng lớp.
Tính tần số tích lũy: F_i là tổng tần số của tất cả các nhóm từ nhóm thứ nhất đến nhóm thứ i.
Xác định nhóm chứa tứ phân vị: Tìm nhóm thứ i sao cho F_i-1 < nQ/100 < F_i, trong đó n là tổng tần số của mẫu số liệu và Q là tứ phân vị cần tính (1, 2, hoặc 3).
Tính tứ phân vị: Q = a_i + [(nQ/100 - F_i-1) / m_i] * h

3. Ý nghĩa của tứ phân vị

Tứ phân vị cung cấp thông tin quan trọng về sự phân tán của dữ liệu:

Khoảng tứ phân vị (IQR): IQR = Q₃ - Q₁. Khoảng tứ phân vị cho biết phạm vi mà 50% dữ liệu tập trung.
Biến thiên tứ phân vị: Đo lường mức độ biến động của dữ liệu xung quanh trung vị.

Tứ phân vị cũng được sử dụng để phát hiện các giá trị ngoại lệ (outliers) trong dữ liệu. Một giá trị được coi là ngoại lệ nếu nó nằm ngoài khoảng [Q₁ - 1.5IQR, Q₃ + 1.5IQR].

4. Ví dụ minh họa

Giả sử ta có bảng tần số sau:

Khoảng giá trị	Tần số (f_i)
[10-20)	5
[20-30)	10
[30-40)	15
[40-50)	8
[50-60)	2

Tổng tần số n = 5 + 10 + 15 + 8 + 2 = 40.

Để tính Q₁, ta tìm nhóm chứa giá trị 40 * 0.25 = 10. Nhóm chứa Q₁ là [20-30) với tần số tích lũy là 5. Áp dụng công thức, ta có Q₁ = 20 + [(10 - 5) / 10] * 10 = 25.

Tương tự, ta có thể tính Q₂ và Q₃.