Bài 3. Đạo hàm cấp 2

Bài 3. Đạo hàm cấp 2 - SBT Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Đạo hàm cấp 2, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp nhất của một hàm số. Nó cung cấp thông tin về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số, giúp chúng ta phân tích tính lồi, lõm và các điểm uốn của đồ thị hàm số.

I. Lý thuyết cần nắm vững

1. Định nghĩa: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) tại một điểm x, và f'(x) có đạo hàm tại x, thì đạo hàm của f'(x) tại x được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) tại x, ký hiệu là f''(x).
2. Công thức tính đạo hàm cấp 2: f''(x) = (f'(x))'
3. Ứng dụng:
   • Xác định tính lồi, lõm của đồ thị hàm số.
   • Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số.
   • Giải các bài toán tối ưu hóa.

II. Giải bài tập SBT Toán 11 - Cánh diều (Bài 3)

Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

1. y = x³ - 2x² + 5x - 1
2. y = sin(2x)
3. y = e^x + ln(x)

Giải:

• a) y = x³ - 2x² + 5x - 1

  y' = 3x² - 4x + 5

  y'' = 6x - 4

• b) y = sin(2x)

  y' = 2cos(2x)

  y'' = -4sin(2x)

• c) y = e^x + ln(x)

  y' = e^x + 1/x

  y'' = e^x - 1/x²

Bài 2: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1

Giải:

y' = 4x³ - 12x² + 12x - 4 = 4(x³ - 3x² + 3x - 1) = 4(x-1)³

y'' = 12x² - 24x + 12 = 12(x² - 2x + 1) = 12(x-1)²

Vì y'' = 12(x-1)² ≥ 0 với mọi x, hàm số y luôn lồi trên R. Điểm x = 1 là điểm uốn của đồ thị hàm số.

Bài 3: Xác định điểm uốn của hàm số y = x³ - 3x² + 2

Giải:

y' = 3x² - 6x

y'' = 6x - 6

Để tìm điểm uốn, ta giải phương trình y'' = 0:

6x - 6 = 0 => x = 1

Khi x < 1, y'' < 0, hàm số lõm.

Khi x > 1, y'' > 0, hàm số lồi.

Vậy, điểm uốn của hàm số là (1, 0).

III. Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm cấp 2

• Nắm vững định nghĩa và công thức tính đạo hàm cấp 2.
• Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm một cách linh hoạt.
• Phân tích kỹ đề bài để xác định phương pháp giải phù hợp.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 3. Đạo hàm cấp 2 - SBT Toán 11 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!