Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Nó giúp ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc một giá trị cụ thể.

1. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

2. Các loại đường tiệm cận

• Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
• Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
• Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] = 0.

3. Phương pháp tìm đường tiệm cận

Để tìm đường tiệm cận, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tiệm cận đứng: Xác định các giá trị x mà mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0.
2. Tìm tiệm cận ngang: Tính lim_x→+∞ f(x) và lim_x→-∞ f(x). Nếu các giới hạn này hữu hạn, thì đó là các tiệm cận ngang.
3. Tìm tiệm cận xiên: Tính a = lim_x→+∞ f(x)/x và b = lim_x→+∞ [f(x) - ax]. Nếu a ≠ 0, thì y = ax + b là tiệm cận xiên.

4. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

• Tiệm cận đứng: x = 1 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 1 và tử số khác 0).
• Tiệm cận ngang: y = 2 (vì lim_x→+∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2).
• Tiệm cận xiên: Không có (vì a = 0).

5. Ứng dụng của đường tiệm cận

Đường tiệm cận có nhiều ứng dụng trong việc khảo sát hàm số, bao gồm:

• Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
• Tìm cực trị của hàm số.
• Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.

6. Bài tập vận dụng

Hãy tìm đường tiệm cận của các hàm số sau:

• y = (x + 2) / (x - 3)
• y = (3x² + 1) / (x² - 4)
• y = (x³ + 1) / (x² + 1)

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Chúc bạn học tập tốt!