Bài 3. Hàm số liên tục

Bài 3. Hàm số liên tục - SGK Toán 11: Tổng quan và lý thuyết

Bài 3 trong SGK Toán 11 tập 1 tập trung vào một khái niệm nền tảng trong giải tích: hàm số liên tục. Hiểu rõ về tính liên tục của hàm số là vô cùng quan trọng, không chỉ cho việc học Toán 11 mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong các môn học liên quan đến toán học và khoa học kỹ thuật.

1. Khái niệm hàm số liên tục tại một điểm

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

• f(x₀) xác định (tức là x₀ thuộc tập xác định của f(x)).
• lim_x→x0f(x) tồn tại (tức là giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀ là một số thực xác định).
• lim_x→x0f(x) = f(x₀) (tức là giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀ bằng giá trị của hàm số tại x₀).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Tương tự, hàm số liên tục trên nửa khoảng [a; b) nếu nó liên tục trên (a; b) và liên tục từ bên phải tại a. Hàm số liên tục trên nửa khoảng (a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và liên tục từ bên trái tại b.

3. Các hàm số liên tục cơ bản

Một số hàm số thường gặp được xem là liên tục trên tập xác định của chúng:

• Hàm đa thức.
• Hàm phân thức hữu tỷ (tại các điểm mà mẫu số khác 0).
• Hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot) trên tập xác định của chúng.
• Hàm căn thức (căn bậc hai, căn bậc ba,...) trên tập xác định của chúng.

4. Tính chất của hàm số liên tục

Các hàm số liên tục có một số tính chất quan trọng:

• Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
• Thương của hai hàm số liên tục là một hàm số liên tục (tại các điểm mà mẫu số khác 0).
• Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

Bài tập minh họa và phương pháp giải

Để hiểu rõ hơn về hàm số liên tục, chúng ta cùng xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x² + 1 tại điểm x = 2.

Ta có: f(2) = 2² + 1 = 5. lim_x→2f(x) = lim_x→2(x² + 1) = 2² + 1 = 5. Vì lim_x→2f(x) = f(2), nên hàm số f(x) liên tục tại x = 2.

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = 1/x tại điểm x = 0.

Hàm số f(x) = 1/x không xác định tại x = 0, do đó nó không liên tục tại x = 0.

Ứng dụng của hàm số liên tục

Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Trong vật lý: mô tả các hiện tượng vật lý liên tục như chuyển động, nhiệt độ,...
• Trong kinh tế: mô tả các hàm số chi phí, doanh thu,...
• Trong kỹ thuật: mô tả các tín hiệu liên tục,...

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 3. Hàm số liên tục - SGK Toán 11. Chúc các em học tập tốt!