Bài 3.12 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 là một bài toán quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết các bài toán hình học không gian.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Hãy xác định các khoảng mà trên đó mỗi hàm số sau đây là liên tục
Đề bài
Hãy xác định các khoảng mà trên đó mỗi hàm số sau đây là liên tục
a) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - x - 6}}\)
b) \(g\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 9x} \)
c) \(h\left( x \right) = {x^2} + \cot x\)
d, \(t\left( x \right) = \left( {x + 2\sqrt x } \right)\left( {x - 2\sqrt x } \right)\)
e) \(u\left( x \right) = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt x }}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm đa thức liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên các khoảng xác định của nó.
Hàm số \(y = \sin x,\,\,y = \cos x\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = \tan x,\,\,y = \cot x\) liên tục trên các khoảng xác định của nó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng K và \(f\left( x \right) \ge 0\),\(\forall x \in K\). Khi đó hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) liên tục trên \(K\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục trên khoảng K thì hàm số \(y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\) cũng liên tục trên khoảng K
Lời giải chi tiết
a,
Tập xác định \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - x - 6}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\)
b,
Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 9x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 9\\x \le 0\end{array} \right.\)
Tập xác định của hàm số là \(\left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {9; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = x\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = {x^2} - 9x\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)
Ngoài ra, vì \({x^2} - 9x \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {9; + \infty } \right)\) nên \(y = \sqrt {{x^2} - 9x} \) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)
Do đó, hàm số \(y = x + \sqrt {{x^2} - 9x} \) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)
c,
Điều kiện xác định là \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\)
Tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Hàm số \(y = {x^2}\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\)
Hàm số \(y = \cot x\) liên tục trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\)
Do đó, hàm số \(y = {x^2} + \cot x\) liên tục trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\)
d,
Điều kiện xác định \(x \ge 0\). Tập xác định \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\)
Ta có \(t\left( x \right) = {x^2} - 4x\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)
e,
Điều kiện xác định \(x > 0\). Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
Vì hàm số \(y = \sin 2x\) liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) nên nó liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = \sqrt x \) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Nên hàm số \(y = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt x }}\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Bài 3.12 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương 3: Vectơ trong không gian. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, hoặc tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
Để giải bài 3.12 trang 79 SGK Toán 11 tập 1, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử bài toán yêu cầu xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0.
Ta có vectơ chỉ phương của d là a = (1, -1, 2) và vectơ pháp tuyến của (P) là n = (2, -1, 1).
Tích vô hướng a.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 0. Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (P).
Để tìm giao điểm, ta thay x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t vào phương trình mặt phẳng (P):
2(1 + t) - (2 - t) + (3 + 2t) - 5 = 0
2 + 2t - 2 + t + 3 + 2t - 5 = 0
5t - 2 = 0
t = 2/5
Thay t = 2/5 vào phương trình đường thẳng, ta được giao điểm I(1 + 2/5, 2 - 2/5, 3 + 4/5) = (7/5, 8/5, 19/5).
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Khi giải các bài toán về đường thẳng và mặt phẳng, cần chú ý các điểm sau:
Bài 3.12 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 là một bài toán quan trọng, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán hình học không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu trên đây, bạn đã hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
