Bài 3. Tích phân

Bài 3. Tích phân - SGK Toán 12 - Cánh diều: Tổng quan và Phương pháp giải

Bài 3 trong chương 4 của sách Toán 12 tập 2, Cánh diều, tập trung vào việc củng cố và mở rộng kiến thức về tích phân. Tích phân là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, kinh tế học và thống kê. Hiểu rõ về tích phân là nền tảng quan trọng để học tập các môn học nâng cao hơn.

I. Khái niệm cơ bản về tích phân

Tích phân, về cơ bản, là quá trình ngược lại của phép vi phân. Nếu vi phân cho phép chúng ta tìm đạo hàm của một hàm số, thì tích phân cho phép chúng ta tìm hàm số gốc từ đạo hàm của nó. Có hai loại tích phân chính: tích phân bất định và tích phân xác định.

Tích phân bất định: Là việc tìm tất cả các hàm số có đạo hàm bằng một hàm số cho trước. Kết quả của tích phân bất định là một họ các hàm số, khác nhau bởi một hằng số.
Tích phân xác định: Là việc tính diện tích dưới đường cong của một hàm số trong một khoảng xác định. Kết quả của tích phân xác định là một số thực.

II. Các phương pháp tính tích phân

Có nhiều phương pháp khác nhau để tính tích phân, tùy thuộc vào dạng của hàm số. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

Phương pháp đổi biến: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số.
Phương pháp phân tích thành phân thức đơn giản: Sử dụng để tính tích phân của các hàm số hữu tỉ.
Sử dụng bảng tích phân: Tham khảo bảng tích phân để tìm các công thức tích phân đã biết.

III. Bài tập minh họa và lời giải chi tiết

Dưới đây là một số bài tập minh họa từ SGK Toán 12 tập 2, Cánh diều, Bài 3. Tích phân, cùng với lời giải chi tiết:

Ví dụ 1: Tính tích phân ∫(2x + 1) dx

Lời giải:

∫(2x + 1) dx = ∫2x dx + ∫1 dx = 2∫x dx + ∫1 dx = 2(x²/2) + x + C = x² + x + C

Ví dụ 2: Tính tích phân xác định ∫₀¹ x² dx

Lời giải:

∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = (1³/3) - (0³/3) = 1/3

IV. Lưu ý khi giải bài tập tích phân

Khi giải bài tập tích phân, cần lưu ý một số điểm sau:

Xác định đúng loại tích phân (bất định hay xác định).
Chọn phương pháp tính tích phân phù hợp với dạng của hàm số.
Kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm của kết quả tích phân để xem có bằng hàm số ban đầu hay không.
Không quên thêm hằng số C khi tính tích phân bất định.