Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Giải pháp chi tiết và đầy đủ

Bài 3 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ứng dụng tích phân để tính diện tích các hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay và giải quyết các bài toán liên quan đến đường cong. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về tích phân và khả năng vận dụng linh hoạt vào các bài toán thực tế.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:

• Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức: ∫_a^b |f(x)| dx
• Thể tích vật thể tròn xoay:
• Phương pháp đĩa: V = π ∫_a^b [f(x)]² dx (với vật thể tròn xoay quanh trục Ox)
• Phương pháp vỏ: V = 2π ∫_a^b x * f(x) dx (với vật thể tròn xoay quanh trục Oy)
• Ứng dụng khác: Tích phân còn được sử dụng để tính độ dài đường cong, diện tích bề mặt vật thể tròn xoay và các bài toán liên quan đến vật lý.

II. Giải chi tiết các bài tập trong SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo - Bài 3

Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trong sách bài tập:

Bài 3.1

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² và y = 4x.

Lời giải:

1. Tìm giao điểm: Giải phương trình x² = 4x => x = 0 hoặc x = 4. Vậy giao điểm là (0,0) và (4,16).
2. Xác định hàm nào lớn hơn: Trên đoạn [0,4], 4x ≥ x².
3. Tính diện tích: ∫₀⁴ (4x - x²) dx = [2x² - (x³/3)]₀⁴ = 32 - 64/3 = 32/3.

Vậy diện tích hình phẳng là 32/3.

Bài 3.2

Đề bài: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x², y = 0 và x = 2 quanh trục Ox.

Lời giải:

1. Sử dụng phương pháp đĩa: V = π ∫₀² (x²)² dx = π ∫₀² x⁴ dx
2. Tính tích phân: V = π [x⁵/5]₀² = π (32/5) = 32π/5

Vậy thể tích vật thể tròn xoay là 32π/5.

III. Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải

Trong bài 3, các em có thể gặp các dạng bài tập sau:

• Tính diện tích hình phẳng: Xác định giao điểm, so sánh giá trị của các hàm số trên khoảng xác định và tính tích phân.
• Tính thể tích vật thể tròn xoay: Chọn phương pháp phù hợp (đĩa hoặc vỏ), xác định giới hạn tích phân và tính tích phân.
• Bài toán ứng dụng thực tế: Đọc kỹ đề bài, vẽ hình minh họa và áp dụng các công thức tích phân để giải quyết.

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập, các em nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa, sách bài tập và các đề thi thử. Giaitoan.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, giúp các em rèn luyện kỹ năng và tự tin hơn trong kỳ thi.

V. Kết luận

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức lý thuyết và kỹ năng giải bài tập sẽ giúp các em đạt kết quả tốt trong kỳ thi THPT Quốc gia. Chúc các em học tập tốt!