Chào mừng bạn đến với bài học số 4 chương trình Hình học lớp 11 nâng cao. Bài học này tập trung vào kiến thức quan trọng về hai mặt phẳng vuông góc, một khái niệm nền tảng trong chương Vectơ trong không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, các tính chất liên quan và phương pháp giải các bài toán ứng dụng. Bài học này được trình bày một cách dễ hiểu, có ví dụ minh họa và bài tập thực hành để bạn có thể nắm vững kiến thức.
Trong chương trình Hình học lớp 11 nâng cao, bài học về hai mặt phẳng vuông góc đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và vận dụng các kiến thức về vectơ trong không gian. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về chủ đề này, bao gồm định nghĩa, điều kiện, tính chất và các ứng dụng thực tế.
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90°. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta thường sử dụng vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Nếu hai vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau, thì hai mặt phẳng tương ứng cũng vuông góc với nhau.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là nP và nQ. Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc khi và chỉ khi:
Trong đó, ⋅ ký hiệu tích vô hướng của hai vectơ.
Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (P): x + 2y - z + 1 = 0 và (Q): 2x - y + z - 3 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng này vuông góc với nhau.
Giải:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là nP = (1, 2, -1).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là nQ = (2, -1, 1).
Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến là:
nP ⋅ nQ = (1)(2) + (2)(-1) + (-1)(1) = 2 - 2 - 1 = -1 ≠ 0
Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) không vuông góc với nhau.
Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để hai mặt phẳng (P): x + my - z + 2 = 0 và (Q): 2x - y + z - 1 = 0 vuông góc với nhau.
Giải:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là nP = (1, m, -1).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là nQ = (2, -1, 1).
Để hai mặt phẳng vuông góc, ta cần có:
nP ⋅ nQ = (1)(2) + (m)(-1) + (-1)(1) = 0
Suy ra: 2 - m - 1 = 0
Vậy m = 1.
Kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như kiến trúc, xây dựng, và thiết kế đồ họa. Ví dụ, trong kiến trúc, việc xác định góc vuông giữa các mặt phẳng là rất quan trọng để đảm bảo tính thẩm mỹ và độ bền của công trình.
Để củng cố kiến thức, bạn nên tự giải thêm các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ định nghĩa, điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng vuông góc, cũng như các phương pháp giải bài tập liên quan.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc - SGK Toán 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!
