Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Đề bài
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a. Tính AB, IJ theo a và x.
b. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc ?
Lời giải chi tiết
a. Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ ⊥ CD.
Do mp(ACD) ⊥ mp(BCD) nên AJ ⊥ mp(BCD)
Mặt khác, AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy ra \(AB = AJ\sqrt 2 ,A{J^2} = {a^2} - {x^2}\) \(hay\,AJ = \sqrt {{a^2} - {x^2}} .\)
Vậy \(AB = \sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} \) với a > x
Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên \(JI = {1 \over 2}AB,\) tức là \(IJ = {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} .\)
b)
+Tam giác ABC có AC = BC
nên tam giác ABC cân tại C,
có CI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:
CI ⊥ AB (3)
Tam giác ABD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên
DI ⊥ AB (4)
Hai mp (ABC) và (ABD) cắt nhau theo giao tuyến là AB (5)
Từ (3) , (4) và (5) suy ra góc giữa hai mp(ABC) và (ABD) là góc CID.
Vậy mp(ABC) ⊥ mp(ABD) \( \Leftrightarrow \widehat {CID} = 90^\circ \)
\( \Leftrightarrow IJ = {1 \over 2}CD\) \(\Leftrightarrow {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} = {1 \over 2}.2x\) \(\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} - {x^2}} \right) = 4{x^2} \Leftrightarrow {a^2} = 3{x^2}\)
\(\Leftrightarrow x = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình học Hình học lớp 11, tập trung vào việc củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng của chúng trong giải quyết các bài toán hình học. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như vectơ, phép cộng, phép trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và đặc biệt là các tính chất của vectơ trong các hình bình hành, hình thang, và các hình đa giác khác.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Thông thường, các bài toán về vectơ trong SGK Hình học 11 Nâng cao sẽ yêu cầu học sinh:
Để minh họa, giả sử đề bài Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao có nội dung như sau:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng: overrightarrow{AM} = (1/2)overrightarrow{AB} + vectoring{AD}
Lời giải:
Ngoài bài toán trên, còn rất nhiều dạng bài tập tương tự liên quan đến vectơ và ứng dụng trong hình học. Một số dạng bài tập phổ biến bao gồm:
Để giải các bài tập về vectơ một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng một số mẹo sau:
Để học tốt môn Hình học 11, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập điển hình để rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ trong giải quyết các bài toán hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc học tập và làm bài tập môn Hình học 11.
