Bài 4. Nhị thức Newton

Bài 4. Nhị thức Newton - SBT Toán 10 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 4 trong sách bài tập Toán 10 Cánh diều tập trung vào việc nghiên cứu Nhị thức Newton, một công cụ quan trọng trong đại số tổ hợp. Nhị thức Newton cho phép chúng ta khai triển biểu thức (a + b)^n một cách hiệu quả, đặc biệt khi n là một số nguyên dương lớn. Việc nắm vững công thức và các tính chất của Nhị thức Newton là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán trong toán học và các lĩnh vực ứng dụng khác.

1. Công thức Nhị thức Newton

Công thức Nhị thức Newton được phát biểu như sau:

(a + b)^n = C_n⁰aⁿb⁰ + C_n¹a^n-1b¹ + C_n²a^n-2b² + ... + C_nⁿa⁰bⁿ

Trong đó:

• n là số nguyên dương.
• C_n^k là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức: C_n^k = n! / (k! * (n-k)!).

2. Các tính chất của hệ số nhị thức

Hệ số nhị thức có một số tính chất quan trọng:

• C_n^k = C_n^n-k (Tính đối xứng)
• C_n⁰ = C_nⁿ = 1
• C_n¹ = C_n^n-1 = n

3. Ứng dụng của Nhị thức Newton

Nhị thức Newton có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác:

• Khai triển các biểu thức đại số.
• Tính xác suất trong các bài toán tổ hợp.
• Chứng minh các đẳng thức đại số.

4. Giải bài tập minh họa

Ví dụ 1: Khai triển (x + 2)^3

Áp dụng công thức Nhị thức Newton:

(x + 2)^3 = C₃⁰x³2⁰ + C₃¹x²2¹ + C₃²x¹2² + C₃³x⁰2³

= 1*x³*1 + 3*x²*2 + 3*x*4 + 1*1*8

= x³ + 6x² + 12x + 8

Ví dụ 2: Tìm hệ số của x² trong khai triển (2x - 1)^5

Hệ số của x² là C₅³(2x)²(-1)³ = 10 * 4x² * (-1) = -40x². Vậy hệ số của x² là -40.

5. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

1. Khai triển (x - 1)^4
2. Tìm hệ số của x³ trong khai triển (x + 3)^6
3. Chứng minh rằng C_n^k + C_n^k+1 = C_n+1^k+1

6. Kết luận

Bài 4. Nhị thức Newton cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về khai triển nhị thức. Việc hiểu rõ công thức và các tính chất của Nhị thức Newton sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán đại số một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này nhé!