Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm

Trong chương trình Hình học lớp 11 nâng cao, phép quay và phép đối xứng tâm đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các phép biến hình. Hai phép biến hình này là những công cụ cơ bản để giải quyết nhiều bài toán hình học phức tạp.

I. Phép quay

1. Định nghĩa: Phép quay tâm O với góc α (α đo theo độ, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:

OM = OM’
Góc MOM’ = α

Kí hiệu: Q_{(O, α)}(M) = M’

2. Tính chất:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ:

Nếu M(x; y) và O(0; 0) thì M’(x’; y’) được tính bởi:

x’ = xcosα - ysinα
y’ = xsinα + ycosα

Nếu O ≠ (0; 0) thì:

x’ = (x - a)cosα - (y - b)sinα + a
y’ = (x - a)sinα + (y - b)cosα + b

Trong đó O(a; b).

II. Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa: Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’.

Kí hiệu: Đ_O(M) = M’

2. Tính chất:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ:

Nếu M(x; y) và O(a; b) thì M’(x’; y’) được tính bởi:

x’ = 2a - x
y’ = 2b - y

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho điểm A(1; 2) và phép quay Q_{(O, 90^o)} với O(0; 0). Tìm ảnh A’ của điểm A qua phép quay đó.

Giải:

x’ = 1cos90^o - 2sin90^o = -2
y’ = 1sin90^o + 2cos90^o = 1

Vậy A’(-2; 1).

Bài 2: Cho điểm B(3; -1) và phép đối xứng tâm I(1; 2). Tìm ảnh B’ của điểm B qua phép đối xứng tâm đó.

Giải:

x’ = 2(1) - 3 = -1
y’ = 2(2) - (-1) = 5

Vậy B’(-1; 5).

IV. Kết luận

Bài học hôm nay đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về phép quay và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của hai phép biến hình này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học trong chương trình lớp 11 nâng cao. Các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập để hiểu sâu hơn về hai phép biến hình này.

Chúc các em học tốt!