Bài 6. Phép vị tự

Phép vị tự là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các hình đồng dạng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phép vị tự, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết.

1. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho M' nằm trên tia OM và OM' = k.OM, với k là một số thực dương gọi là tỉ số vị tự. O được gọi là tâm vị tự.

2. Tính chất của phép vị tự

Phép vị tự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Phép vị tự bảo toàn góc.
Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng tâm và bán kính bằng k lần bán kính đường tròn ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép vị tự tâm O(a, b) tỉ số k biến điểm M(x, y) thành điểm M'(x', y') thì:

x' = a + k(x - a)
y' = b + k(y - b)

4. Các dạng bài tập thường gặp

Xác định tâm vị tự và tỉ số vị tự: Đòi hỏi việc tìm mối liên hệ giữa các điểm và sử dụng định nghĩa của phép vị tự.
Tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng, một hình qua phép vị tự: Sử dụng biểu thức tọa độ hoặc tính chất của phép vị tự.
Chứng minh một hình là ảnh của một hình khác qua phép vị tự: Chứng minh rằng các điểm tương ứng của hai hình thỏa mãn định nghĩa của phép vị tự.
Ứng dụng phép vị tự vào giải toán hình học: Sử dụng phép vị tự để chứng minh các tính chất hình học hoặc giải các bài toán về đồng dạng.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(1, 2) và phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 2. Tìm ảnh A' của điểm A qua phép vị tự.

Giải:

x' = 0 + 2(1 - 0) = 2

y' = 0 + 2(2 - 0) = 4

Vậy A'(2, 4).

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0 và phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 3. Tìm ảnh d' của đường thẳng d qua phép vị tự.

Giải:

Lấy hai điểm A(1, 0) và B(0, 1) thuộc đường thẳng d. Tìm ảnh A' và B' của A và B qua phép vị tự.

A'(3, 0) và B'(0, 3).

Phương trình đường thẳng d' đi qua A' và B' là: x/3 + y/3 = 1 hay x + y - 3 = 0.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép vị tự, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong SGK Toán 11 Nâng cao và các tài liệu tham khảo khác để luyện tập. Ngoài ra, bạn có thể tham gia các diễn đàn, nhóm học tập trực tuyến để trao đổi kiến thức và kinh nghiệm với những người khác.

7. Kết luận

Phép vị tự là một công cụ mạnh mẽ trong hình học, giúp chúng ta hiểu sâu hơn về các hình đồng dạng và giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về phép vị tự và giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập môn Toán.