Bài 7. Cấp số nhân

Bài 7. Cấp số nhân - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Việc hiểu rõ khái niệm, tính chất và các công thức liên quan đến cấp số nhân là vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 11.

I. Khái niệm cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

II. Các tính chất của cấp số nhân

• Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
• Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: S_n = a(1 - qⁿ) / (1 - q) nếu q ≠ 1
• Tổng vô hạn của cấp số nhân là: S = a / (1 - q) nếu |q| < 1

III. Bài tập minh họa và giải chi tiết

Bài 1: Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3.

Giải:

Áp dụng công thức số hạng tổng quát: u_n = a.q^n-1

u₅ = 2.3^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162

Bài 2: Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 2.

Giải:

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên: S_n = a(1 - qⁿ) / (1 - q)

S₁₀ = 1(1 - 2¹⁰) / (1 - 2) = (1 - 1024) / (-1) = -1023 / -1 = 1023

Bài 3: Tìm công bội của cấp số nhân biết u₁ = 3 và u₄ = 24.

Giải:

Ta có: u₄ = u₁.q³

24 = 3.q³

q³ = 8

q = 2

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và các nguồn tài liệu trực tuyến khác để luyện tập.

V. Ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tính lãi kép trong ngân hàng
• Tính sự tăng trưởng dân số
• Tính sự phân rã của các chất phóng xạ

VI. Kết luận

Bài 7. Cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc hiểu rõ khái niệm, tính chất và các công thức liên quan đến cấp số nhân sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và ứng dụng kiến thức vào thực tế.