Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 8 trong chương trình Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc tìm hiểu về phép cộng và phép trừ vectơ. Đây là những phép toán cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong hình học vectơ, là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn.

1. Khái niệm về tổng của hai vectơ

Tổng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a + b, là một vectơ được xác định theo quy tắc hình bình hành. Cụ thể:

Vẽ hình bình hành ABCD với AB = a và AD = b.
Đường chéo AC chính là vectơ tổng a + b.

Quy tắc tam giác cũng có thể được sử dụng để xác định vectơ tổng: Đặt gốc của vectơ b trùng với đỉnh cuối của vectơ a. Vectơ nối gốc của a với đỉnh cuối của b chính là vectơ tổng a + b.

2. Tính chất của phép cộng vectơ

Phép cộng vectơ có các tính chất quan trọng sau:

Tính giao hoán:a + b = b + a
Tính kết hợp:(a + b) + c = a + (b + c)
Vectơ không:a + 0 = a (trong đó 0 là vectơ không)

3. Khái niệm về hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vectơ a và b, ký hiệu là a - b, là một vectơ được xác định như sau:

a - b = a + (-b)

Trong đó, -b là vectơ đối của vectơ b. Vectơ đối của b có cùng độ dài và hướng ngược với b.

4. Quy tắc trừ vectơ

Để tìm hiệu của hai vectơ a và b, ta có thể sử dụng quy tắc sau:

Vẽ vectơ a và vectơ b từ cùng một điểm gốc.
Vectơ a - b là vectơ nối đỉnh cuối của b với đỉnh cuối của a.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a và b có độ dài lần lượt là 3 và 4, và góc giữa chúng là 60 độ. Tính độ dài của vectơ a + b.

Giải:

Sử dụng công thức tính độ dài của vectơ tổng:

|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cos(60°)

|a + b|² = 3² + 4² + 2 * 3 * 4 * 0.5 = 9 + 16 + 12 = 37

|a + b| = √37

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MA + MB + MC = 0.

Giải:

Vì M là trung điểm của BC, ta có MB = MC.

MA + MB + MC = MA + 2MB

Mà MB = MC nên 2MB = BC.

Do đó, MA + MB + MC = MA + BC.

Vì MA và BC ngược hướng và có cùng độ dài, nên MA + BC = 0.

6. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về tổng và hiệu của hai vectơ, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Cho hai vectơ a và b vuông góc với nhau và có độ dài lần lượt là 5 và 12. Tính độ dài của vectơ a - b.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính độ dài của vectơ AB + AD.
Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh rằng GA + GB + GC = 0.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về phép cộng và phép trừ vectơ. Chúc các em học tập tốt!