Bài tập cuối chuyên đề 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài tập cuối chuyên đề 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Ứng dụng toán học giải các bài toán tối ưu - Hướng dẫn chi tiết và lời giải

Chuyên đề 1 trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ứng dụng các kiến thức toán học đã học để giải quyết các bài toán tối ưu thực tế. Đây là một chuyên đề quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm số, đạo hàm và các phương pháp tối ưu hóa.

I. Tổng quan về bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu là bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trên một miền xác định. Trong chương trình Toán 12, các bài toán tối ưu thường xuất hiện trong các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, vật lý,…

II. Các phương pháp giải bài toán tối ưu

Có nhiều phương pháp để giải bài toán tối ưu, trong đó các phương pháp phổ biến nhất là:

Phương pháp sử dụng đạo hàm: Đây là phương pháp cơ bản nhất, dựa trên việc tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0.
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá giá trị của hàm số.
Phương pháp hình học: Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các hình vẽ để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số.

III. Luyện tập Bài tập cuối chuyên đề 1

Dưới đây là một số bài tập điển hình trong Bài tập cuối chuyên đề 1 môn Toán 12 Chân trời sáng tạo:

Bài 1: Một người nông dân có 100m hàng rào để rào một mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất đó có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
Bài 2: Một công ty sản xuất hộp thiếc hình trụ không nắp. Biết rằng thể tích của hộp là 128π cm³. Hỏi bán kính đáy của hộp bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hộp là nhỏ nhất?
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 5 trên đoạn [-1; 3].

IV. Giải bài tập ví dụ

Giải bài 1: Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là x và y. Chu vi của mảnh đất là 2(x + y) = 100, suy ra x + y = 50. Diện tích của mảnh đất là S = xy. Ta có y = 50 - x, suy ra S = x(50 - x) = -x² + 50x. Để tìm giá trị lớn nhất của S, ta tìm điểm cực trị của hàm số S(x) = -x² + 50x. S'(x) = -2x + 50 = 0, suy ra x = 25. Khi x = 25, y = 50 - 25 = 25. Vậy mảnh đất có diện tích lớn nhất khi là hình vuông có cạnh 25m, và diện tích là S = 25 * 25 = 625 m².

V. Mẹo giải bài tập tối ưu

Xác định đúng hàm số cần tối ưu: Đây là bước quan trọng nhất, đảm bảo bạn đang tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của đúng đại lượng cần tìm.
Tìm miền xác định của hàm số: Miền xác định của hàm số sẽ giới hạn các giá trị có thể của biến số.
Sử dụng các phương pháp tối ưu hóa phù hợp: Tùy thuộc vào dạng của hàm số, bạn có thể sử dụng các phương pháp khác nhau để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tìm được kết quả, hãy kiểm tra lại để đảm bảo rằng nó hợp lý và phù hợp với điều kiện của bài toán.

VI. Tài liệu tham khảo

Để học tốt chuyên đề này, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:

Sách giáo khoa Toán 12 Chân trời sáng tạo
Sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Các trang web học toán online uy tín như giaitoan.edu.vn

Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết và bài tập luyện tập trên, bạn sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tối ưu trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo.