giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: khái niệm về khối đa diện

Hướng dẫn giải bài tập Khái niệm về khối đa diện – Hình học 12 cơ bản

Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần “Câu hỏi và bài tập” và “Bài tập” của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, tập trung vào chủ đề “Khái niệm về khối đa diện”. Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững kiến thức nền tảng và rèn luyện kỹ năng giải toán.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.

Lời giải:

Gọi số mặt của đa diện là \(n\) (\(n \in Z\), \(n \ge 4\)). Vì mỗi mặt của khối đa diện là tam giác nên có ba cạnh. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt, do đó tổng số cạnh của đa diện là: \(\frac{{3n}}{2}\).

Vì số cạnh phải là số tự nhiên, nên \(3n\) chia hết cho \(2\), suy ra \(n\) chia hết cho \(2\). Vậy, tổng số mặt của đa diện phải là một số chẵn.

Ví dụ: Khối tứ diện (hình chóp tam giác) có 4 mặt, là một số chẵn.

Bài 2. Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn.

Lời giải:

Giả sử tổng số đỉnh của khối đa diện là \(n\) (\({n \ge 4}\), \({n \in {N^*}}\)) và các đỉnh là: \({A_1}\), \({A_2}\), \({A_3}\) … \({A_n}.\) Gọi số mặt của đa diện chứa đỉnh \({A_i}\) là \(2{m_i} + 1\) (với \(m_i\) là số tự nhiên). Khi đó, số cạnh xuất phát từ đỉnh \({A_i}\) là \(2{m_i} + 1.\)

Vì mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đỉnh, tổng số cạnh của khối đa diện là:

\(c = \frac{{2{m_1} + 1 + 2{m_2} + 1 + \ldots + 2{m_n} + 1}}{2}\) \(= \frac{{2\left( {{m_1} + {m_2} + \ldots + {m_n}} \right) + n}}{2}\) \( = {m_1} + {m_2} + \ldots + {m_n} + \frac{n}{2}.\)

Vì \(c\) là số nguyên, nên \(\frac{n}{2}\) phải là số nguyên, hay \(n\) là số chẵn. Vậy, tổng số đỉnh của đa diện phải là một số chẵn.

Ví dụ: Khối chóp tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 3. Chia một khối lập phương thành năm khối tứ diện.

Lời giải:

Xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Ta có thể chia khối lập phương thành năm khối tứ diện như sau:

A’ABD; C’BCD; BA’B’C’; DA’C’D’; BDA’C’.

Bài 4. Chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau.

Lời giải:

Xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Ta có thể chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau như sau:

BB’A’C’; A’ACB; BCA’C’; CA’D’C’; DACD’; AD’A’C.

Đánh giá và nhận xét:

Các lời giải trên trình bày rõ ràng, logic và dễ hiểu. Việc sử dụng ký hiệu toán học chính xác giúp người đọc dễ dàng theo dõi và nắm bắt nội dung. Các ví dụ minh họa cụ thể giúp làm rõ lý thuyết và phương pháp giải.

Động viên và khích lệ:

Các em học sinh đã hoàn thành tốt việc ôn tập và giải các bài tập về khái niệm khối đa diện. Tuy nhiên, để nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt trong các bài kiểm tra, các em cần tiếp tục luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau, đồng thời chủ động tìm hiểu và khám phá những kiến thức mới. Hãy luôn tự tin vào khả năng của mình và không ngừng cố gắng, chắc chắn các em sẽ đạt được thành công!