Bài 1. Giới hạn của dãy số

I. Khái niệm giới hạn của dãy số

Trong toán học, giới hạn của một dãy số là giá trị mà các số hạng của dãy số tiến tới khi số chỉ số tiến tới vô cùng. Nói cách khác, nếu một dãy số (u_n) có giới hạn L, thì khi n trở nên rất lớn, các số hạng u_n sẽ ngày càng gần với L.

Định nghĩa: Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε.

Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L

II. Các tính chất của giới hạn

Giới hạn của một tổng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại)
Giới hạn của một tích: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại)
Giới hạn của một thương: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại và lim_n→∞ v_n ≠ 0)
Giới hạn của một hằng số: lim_n→∞ c = c (với c là một hằng số)

III. Các dạng giới hạn thường gặp

1. Giới hạn bằng 0

Một dãy số có giới hạn bằng 0 nếu các số hạng của dãy số tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng. Ví dụ: lim_n→∞ (1/n) = 0

2. Giới hạn bằng một số thực khác 0

Ví dụ: lim_n→∞ (n+1)/n = 1

3. Giới hạn vô cùng

Một dãy số có giới hạn vô cùng nếu các số hạng của dãy số tăng hoặc giảm vô hạn khi n tiến tới vô cùng. Ví dụ: lim_n→∞ n = ∞

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 3)

Giải:

lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 3) = lim_n→∞ (2 + 1/n) / (1 - 3/n) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ

Giải:

Đây là một giới hạn quen thuộc, có giá trị bằng số e (số Euler). lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2.71828

V. Luyện tập

Bài 1.1 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 1.2 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 1.3 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn của dãy số và các ứng dụng của nó. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.