Giải Toán 12 Bài 1. Nguyên hàm - SGK Toán 12 Cánh Diều

Bài 1. Nguyên hàm - SGK Toán 12 Cánh Diều: Tổng quan

Bài 1 trong chương 4 của SGK Toán 12 Cánh Diều tập trung vào việc giới thiệu khái niệm nguyên hàm, các tính chất cơ bản và phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản. Đây là bước đệm quan trọng để học sinh tiếp cận với tích phân, một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

1. Khái niệm Nguyên hàm

Một hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Nói cách khác, nguyên hàm là quá trình ngược lại của phép vi phân.

2. Tính chất của Nguyên hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.
Hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, chúng khác nhau ở hằng số cộng.

3. Nguyên hàm của một số hàm số cơ bản

Dưới đây là bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

4. Phương pháp tìm Nguyên hàm

Để tìm nguyên hàm của một hàm số, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản: Tìm nguyên hàm bằng cách nhận biết hàm số cần tìm nguyên hàm có dạng tương tự với các hàm số trong bảng.
Sử dụng tính chất của nguyên hàm: Biến đổi hàm số cần tìm nguyên hàm về dạng tổng hoặc hiệu của các hàm số cơ bản, sau đó tìm nguyên hàm của từng thành phần và cộng lại.
Sử dụng phương pháp đổi biến số: Đặt u là một hàm của x, sau đó tính du và biến đổi tích phân về dạng đơn giản hơn.
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: Áp dụng công thức tích phân từng phần ∫u dv = uv - ∫v du.

5. Bài tập Vận dụng

Để củng cố kiến thức về nguyên hàm, các em có thể thực hành giải các bài tập sau:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x + 1.
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(2x).
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)/(x² + 2x + 1).

6. Lưu ý quan trọng

Khi tìm nguyên hàm, đừng quên thêm hằng số tích phân C vào kết quả cuối cùng. Việc bỏ qua hằng số tích phân có thể dẫn đến kết quả sai.

Kết luận

Bài 1. Nguyên hàm là nền tảng quan trọng để hiểu và giải quyết các bài toán tích phân. Việc nắm vững khái niệm, tính chất và phương pháp tìm nguyên hàm sẽ giúp các em học tốt môn Toán 12 và ứng dụng kiến thức vào thực tế.