Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 5, 6, 7 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học Toán.
Tính chất của nguyên hàm
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 5 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác không
a) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hỏi kF(x) có phải là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K hay không?
b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. Đặt G(x) = kH(x) trên K. Hỏi H(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K hay không?
c) Nêu nhận xét về \(\int {kf(x)dx} \) và \(k\int {f(x)dx} \)
Phương pháp giải:
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K
Lời giải chi tiết:
a) F’(x) = f(x) => kF’(x) = kf(x)
Vậy kF(x) là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K
b) Ta có: \(G(x) = kH(x)\) => G’(x) = kH’(x)
Lại có: G’(x) = kf(x) <=> kH’(x) = kf(x) <=> H’(x) = f(x)
Vậy H(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
c) \(\int {kf(x)dx} = kF(x) + a\)
\(k\int {f(x)dx} = k(F(x) + b) = kF(x) + kb\)
Vậy \(\int {kf(x)dx} \) = \(k\int {f(x)dx} \) = \(kF(x) + C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho là hai hàm số liên tục trên K
a) Giả sử F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của hàm số f(x), g(x) trên K. Hỏi F(x) + G(x) có phải nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K hay không?
b) Giả sử H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K. Đặt G(x) = H(x) – F(x) trên K. Hỏi G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K hay không?
c) Nêu nhận xét về \(\int {[f(x) + g(x)]dx} \) và \(\int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} \)
Phương pháp giải:
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K
Lời giải chi tiết:
a) F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x) nên F(x) + G(x) có phải nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K
b) G(x) = H(x) – F(x) => G’(x) = H’(x) – F’(x) = f’(x) + g’(x) – f’(x) =g(x)
Vậy G(x) là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K
c) \(\int {[f(x) + g(x)]dx} = H(x) + C\)
\(\int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} = F(x) + a + G(x) + b = H(x) + C\)
Vậy \(\int {[f(x) + g(x)]dx} \) = \(\int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho là hai hàm số liên tục trên K
a) Giả sử F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của hàm số f(x), g(x) trên K. Hỏi F(x) + G(x) có phải nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K hay không?
b) Giả sử H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K. Đặt G(x) = H(x) – F(x) trên K. Hỏi G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K hay không?
c) Nêu nhận xét về \(\int {[f(x) + g(x)]dx} \) và \(\int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} \)
Phương pháp giải:
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K
Lời giải chi tiết:
a) F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x) nên F(x) + G(x) có phải nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K
b) G(x) = H(x) – F(x) => G’(x) = H’(x) – F’(x) = f’(x) + g’(x) – f’(x) =g(x)
Vậy G(x) là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K
c) \(\int {[f(x) + g(x)]dx} = H(x) + C\)
\(\int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} = F(x) + a + G(x) + b = H(x) + C\)
Vậy \(\int {[f(x) + g(x)]dx} \) = \(\int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 5 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác không
a) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hỏi kF(x) có phải là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K hay không?
b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. Đặt G(x) = kH(x) trên K. Hỏi H(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K hay không?
c) Nêu nhận xét về \(\int {kf(x)dx} \) và \(k\int {f(x)dx} \)
Phương pháp giải:
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K
Lời giải chi tiết:
a) F’(x) = f(x) => kF’(x) = kf(x)
Vậy kF(x) là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K
b) Ta có: \(G(x) = kH(x)\) => G’(x) = kH’(x)
Lại có: G’(x) = kf(x) <=> kH’(x) = kf(x) <=> H’(x) = f(x)
Vậy H(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
c) \(\int {kf(x)dx} = kF(x) + a\)
\(k\int {f(x)dx} = k(F(x) + b) = kF(x) + kb\)
Vậy \(\int {kf(x)dx} \) = \(k\int {f(x)dx} \) = \(kF(x) + C\)
Mục 2 trong SGK Toán 12 tập 2 Cánh diều tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Đây là một phần quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán trong chương trình học. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng tính đạo hàm là điều cần thiết để các em có thể tự tin giải quyết các bài tập liên quan.
Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng bài tập trong mục 2 trang 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 Cánh diều, với lời giải chi tiết và các bước thực hiện rõ ràng. Các em có thể tham khảo để hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Lời giải:
y = (2x + 1) / (x - 3)
Lời giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
y' = [(2x + 1)'(x - 3) - (2x + 1)(x - 3)'] / (x - 3)2
y' = [2(x - 3) - (2x + 1)] / (x - 3)2
y' = (2x - 6 - 2x - 1) / (x - 3)2
y' = -7 / (x - 3)2
f(x) = x4 - 2x2 + 3
Lời giải:
Đạo hàm cấp nhất: f'(x) = 4x3 - 4x
Đạo hàm cấp hai: f''(x) = 12x2 - 4
Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em đã hiểu rõ cách giải các bài tập trong mục 2 trang 5,6,7 SGK Toán 12 tập 2 Cánh diều. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
