Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Cánh Diều tại giaitoan.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng và các công thức quan trọng về nguyên hàm, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Nguyên hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc tính tích phân và giải quyết nhiều bài toán thực tế. Hãy cùng chúng tôi khám phá chi tiết lý thuyết này.
1. Khái niệm nguyên hàm Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K.
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K. |
Chú ý:
Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực R
Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K
b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K
Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K được kí hiệu là
\(\int {f(x)dx = F(x) + C} \)
2. Tính chất của nguyên hàm
|
Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt là trong phần tích tích phân. Hiểu rõ lý thuyết nguyên hàm là nền tảng để giải quyết các bài toán tích phân một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết nguyên hàm theo chương trình Cánh Diều, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải bài tập.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.
Dưới đây là bảng các nguyên hàm cơ bản mà các em cần nắm vững:
| Hàm số f(x) | Nguyên hàm F(x) |
|---|---|
| xn (n ≠ -1) | (xn+1)/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| ex | ex + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
Có nhiều phương pháp để tìm nguyên hàm, trong đó phổ biến nhất là:
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x3 + 3x2 - 1.
Giải:
∫(2x3 + 3x2 - 1)dx = 2∫x3dx + 3∫x2dx - ∫1dx = 2(x4/4) + 3(x3/3) - x + C = x4/2 + x3 - x + C
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = xsin(x).
Giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: Đặt u = x, dv = sin(x)dx. Khi đó du = dx, v = -cos(x). ∫xsin(x)dx = -xcos(x) - ∫(-cos(x))dx = -xcos(x) + ∫cos(x)dx = -xcos(x) + sin(x) + C
Để nắm vững kiến thức về nguyên hàm, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như giaitoan.edu.vn.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết nguyên hàm Toán 12 Cánh Diều. Chúc các em học tập tốt!
