Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 19 trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là vô cùng cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến xác suất có điều kiện.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác loại trừ lẫn nhau. Giả sử A là một biến cố và B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố xung khắc (loại trừ lẫn nhau) và hợp của chúng bằng biến cố A. Khi đó, xác suất của A được tính như sau:

P(A) = P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) + ... + P(B_n)P(A|B_n)

Trong đó:

• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B_i) là xác suất của biến cố B_i.
• P(A|B_i) là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B_i đã xảy ra.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác. Công thức được phát biểu như sau:

P(B|A) = [P(A|B) * P(B)] / P(A)

Trong đó:

• P(B|A) là xác suất có điều kiện của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra (xác suất hậu nghiệm).
• P(A|B) là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra (khả năng).
• P(B) là xác suất tiên nghiệm của biến cố B.
• P(A) là xác suất của biến cố A.

3. Ứng dụng của công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Hai công thức này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Y học: Chẩn đoán bệnh dựa trên kết quả xét nghiệm.
• Kỹ thuật: Đánh giá độ tin cậy của hệ thống.
• Thống kê: Phân tích dữ liệu và đưa ra dự đoán.
• Kinh tế: Dự báo thị trường và đánh giá rủi ro.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A và B. Dây chuyền A sản xuất 60% tổng số sản phẩm, dây chuyền B sản xuất 40%. Tỷ lệ sản phẩm lỗi của dây chuyền A là 2%, của dây chuyền B là 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là bao nhiêu?

Giải:

Gọi A là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền A, B là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền B, L là biến cố sản phẩm là sản phẩm lỗi.

Ta có: P(A) = 0.6, P(B) = 0.4, P(L|A) = 0.02, P(L|B) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(L) = P(A)P(L|A) + P(B)P(L|B) = 0.6 * 0.02 + 0.4 * 0.03 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là 2.4%.

Ví dụ 2: Một bài kiểm tra có độ khó trung bình. 80% học sinh đã học bài, 20% học sinh không học bài. Học sinh đã học bài có 90% khả năng trả lời đúng câu hỏi, học sinh không học bài có 20% khả năng trả lời đúng câu hỏi. Nếu một học sinh trả lời đúng câu hỏi, xác suất để học sinh đó đã học bài là bao nhiêu?

Giải:

Gọi H là biến cố học sinh đã học bài, D là biến cố học sinh trả lời đúng câu hỏi.

Ta có: P(H) = 0.8, P(¬H) = 0.2, P(D|H) = 0.9, P(D|¬H) = 0.2

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

P(H|D) = [P(D|H) * P(H)] / P(D) = [P(D|H) * P(H)] / [P(D|H) * P(H) + P(D|¬H) * P(¬H)]

P(H|D) = (0.9 * 0.8) / (0.9 * 0.8 + 0.2 * 0.2) = 0.72 / (0.72 + 0.04) = 0.72 / 0.76 ≈ 0.947

Vậy, xác suất để học sinh đó đã học bài là khoảng 94.7%.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Giaitoan.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.