Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết xác suất toàn phần và công thức Bayes trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Đây là một trong những chủ đề quan trọng, giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất phức tạp một cách hiệu quả.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng vững chắc, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn hiểu rõ cách áp dụng công thức vào thực tế.
1. Công thức xác suất toàn phần
1. Công thức xác suất toàn phần
Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )\) |
Ví dụ 1: Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7. Xét một tuần mà thứ hai ông An đi làm bằng xe buýt. Tính xác suất để thứ tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy.
Giải:
Gọi A là biến cố: “Thứ ba, ông An đi làm bằng xe máy”; B là biến cố: “Thứ tư, ông An đi làm bằng xe máy”. Ta cần tính P(B). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )\)
\(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A ) = 0,4.0,3 + 0,6.0,4 = 0,36\)
2. Công thức Bayes
Cho A và B là hai biến cố, với P(B) > 0. Khi đó, ta có công thức sau: \(P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )}}\) |
Ví dụ 2: Trong một kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh X có 80% học sinh lựa chọn tổ hợp A00. Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,6; còn nếu mọt học sinh không chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đỗ đại học là 0,7. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00.
Giải:
Gọi A là biến cố: “Học sinh đó chọn tổ hợp A00”; B là biến cố: “Học sinh đó đỗ đại học”.
Ta cần tính P(A|B). Theo công thức Bayes, ta cần biết: \(P(A),P(\overline A ),P(B|A)\) và \(P(B|\overline A )\).
Ta có: P(A) = 0,8; \(P(\overline A )\) = 1 – P(A) = 1 – 0,8 = 0,2.
P(B|A) là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó chọn tổ hợp A00.
\( \Rightarrow P(B|A) = 0,6\).
\(P(B|\overline A )\) là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó không chọn tổ hợp A00.
\( \Rightarrow P(B|\overline A ) = 0,7\).
Thay vào công thức Bayes ta được:
\(P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )}} = \frac{{0,8.0,6}}{{0,8.0,6 + 0,2.0,7}} \approx 0,7742\)
Xác suất là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, học sinh sẽ được làm quen với các khái niệm cơ bản về xác suất, bao gồm xác suất của biến cố, xác suất có điều kiện, và đặc biệt là công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.
Trước khi đi sâu vào công thức xác suất toàn phần và Bayes, chúng ta cần nắm vững khái niệm về xác suất có điều kiện. Xác suất có điều kiện của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra, ký hiệu là P(B|A), được tính bằng công thức:
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) (với P(A) > 0)
Trong đó:
Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi không gian mẫu được chia thành các phần không giao nhau và hợp của chúng bằng không gian mẫu. Giả sử A là một biến cố, và B1, B2, ..., Bn là một hệ các biến cố xung khắc đôi một và B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω (không gian mẫu). Khi đó, xác suất của biến cố A được tính bằng công thức:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)
Công thức Bayes là một công cụ mạnh mẽ để cập nhật xác suất của một giả thuyết khi có thêm bằng chứng. Công thức Bayes được phát biểu như sau:
P(Bi|A) = [P(A|Bi)P(Bi)] / P(A)
Trong đó:
P(A) có thể được tính bằng công thức xác suất toàn phần: P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)
Ví dụ 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A và B. Dây chuyền A sản xuất 60% tổng số sản phẩm, trong đó có 5% sản phẩm bị lỗi. Dây chuyền B sản xuất 40% tổng số sản phẩm, trong đó có 2% sản phẩm bị lỗi. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất sản phẩm đó bị lỗi.
Giải:
Gọi A là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền A, B là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền B, và L là biến cố sản phẩm bị lỗi.
Ta có: P(A) = 0.6, P(B) = 0.4, P(L|A) = 0.05, P(L|B) = 0.02
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(L) = P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B) = 0.05 * 0.6 + 0.02 * 0.4 = 0.03 + 0.008 = 0.038
Vậy, xác suất sản phẩm bị lỗi là 0.038.
Ví dụ 2: Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để chẩn đoán một bệnh. Xét nghiệm có độ chính xác 95%, nghĩa là nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính với xác suất 95%, và nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính với xác suất 95%. Biết rằng tỷ lệ người mắc bệnh trong cộng đồng là 1%. Nếu một người được xét nghiệm cho kết quả dương tính, tính xác suất người đó mắc bệnh.
Giải:
Gọi B là biến cố người mắc bệnh, và T là biến cố xét nghiệm cho kết quả dương tính.
Ta có: P(B) = 0.01, P(¬B) = 0.99, P(T|B) = 0.95, P(¬T|¬B) = 0.95 => P(T|¬B) = 0.05
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
P(B|T) = [P(T|B)P(B)] / P(T) = [P(T|B)P(B)] / [P(T|B)P(B) + P(T|¬B)P(¬B)] = (0.95 * 0.01) / (0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99) = 0.0095 / (0.0095 + 0.0495) = 0.0095 / 0.059 = 0.161
Vậy, xác suất người đó mắc bệnh khi xét nghiệm cho kết quả dương tính là 0.161.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Chúc bạn học tốt!
