Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 2 trong SGK Toán 11 Nâng cao chương V: Đạo hàm, tập trung vào việc trình bày và chứng minh các quy tắc tính đạo hàm cơ bản. Việc nắm vững những quy tắc này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán về đạo hàm phức tạp hơn.

1. Quy tắc đạo hàm của một tổng (hoặc hiệu)

Nếu hàm số y = u(x) + v(x), thì đạo hàm của y là:

y' = u'(x) + v'(x)

Tương tự, nếu y = u(x) - v(x), thì:

y' = u'(x) - v'(x)

Quy tắc này cho phép chúng ta tính đạo hàm của một hàm số phức tạp bằng cách chia nhỏ thành các hàm số đơn giản hơn và tính đạo hàm của từng phần sau đó.

2. Quy tắc đạo hàm của một tích

Nếu hàm số y = u(x) * v(x), thì đạo hàm của y là:

y' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

Đây là quy tắc tích, rất hữu ích khi hàm số là tích của hai hàm số khác.

3. Quy tắc đạo hàm của một thương

Nếu hàm số y = u(x) / v(x) (với v(x) ≠ 0), thì đạo hàm của y là:

y' = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2

Quy tắc này áp dụng cho các hàm số là thương của hai hàm số khác.

4. Quy tắc đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số y = f(u(x)), thì đạo hàm của y là:

y' = f'(u(x)) * u'(x)

Đây là quy tắc chuỗi, cho phép tính đạo hàm của hàm hợp bằng cách nhân đạo hàm của hàm ngoài với đạo hàm của hàm trong.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = x^2 + 3x - 5

y' = (x^2)' + (3x)' - (5)' = 2x + 3 + 0 = 2x + 3

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = (x + 1)(x^2 - 2)

Sử dụng quy tắc đạo hàm của một tích:

y' = (x + 1)'(x^2 - 2) + (x + 1)(x^2 - 2)' = 1*(x^2 - 2) + (x + 1)*2x = x^2 - 2 + 2x^2 + 2x = 3x^2 + 2x - 2

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(x^2)

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp:

y' = (sin(x^2))' = cos(x^2) * (x^2)' = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)

Bài tập áp dụng

Tính đạo hàm của hàm số y = 5x^3 - 2x + 1
Tính đạo hàm của hàm số y = (x - 1)(x + 2)
Tính đạo hàm của hàm số y = cos(2x)
Tính đạo hàm của hàm số y = (x^2 + 1) / (x - 1)

Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau sẽ giúp bạn nắm vững các quy tắc tính đạo hàm và áp dụng chúng một cách linh hoạt trong các bài toán cụ thể. Hãy truy cập giaitoan.edu.vn để có thêm nhiều bài tập và tài liệu học tập hữu ích.