Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
\(y = {{x - 1} \over {x + 1}}\), biết hoành độ tiếp điểm là x0 = 0
Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M(x_0;y_0)\) là:
\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {{x - 1} \over {x + 1}} \cr & {x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = f\left( 0 \right) = - 1 \cr & f'\left( x \right) \cr & = \frac{{\left( {x - 1} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cr &= \frac{{x + 1 - x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\cr & = {2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cr &\Rightarrow f'\left( 0 \right) = 2 \cr} \)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
\(y - \left( { - 1} \right) = 2\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = 2x - 1\)
\(y = \sqrt {x + 2} ,\) biết tung độ tiếp điểm là y0 = 2.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} \cr &f\left( {{x_0}} \right) = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x_0} + 2} = 2 \cr &\Leftrightarrow {x_0} = 2 \cr & f'\left( x \right) = {1 \over {2\sqrt {x + 2} }} \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {1 \over 4} \cr} \)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
\(y - 2 = {1 \over 4}\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow y = {{x + 6} \over 4}\)
Câu 24 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm là vô cùng quan trọng để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số cụ thể và yêu cầu chúng ta thực hiện các bước khảo sát hàm số như sau:
Để minh họa, giả sử hàm số được cho trong đề bài là: f(x) = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán theo các bước sau:
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là tập số thực, tức là D = ℝ.
Đạo hàm bậc nhất của hàm số là: f'(x) = 3x2 - 6x.
Để tìm các điểm cực trị, chúng ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = 2. Đây là các điểm cực trị của hàm số.
Chúng ta xét dấu của đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định:
Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại là f(0) = 2.
Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Qua các bước giải trên, chúng ta đã xác định được các đặc điểm chính của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2, bao gồm tập xác định, khoảng đồng biến, nghịch biến, các điểm cực trị và giá trị cực đại, cực tiểu. Những thông tin này là cơ sở để vẽ đồ thị hàm số và hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh có thể tự tin giải quyết Câu 24 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và các bài tập tương tự. Chúc các bạn học tốt!
