Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol
Đề bài
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y = {x^2}\) , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1).
Hướng dẫn : Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm x0 để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).
Lời giải chi tiết
Đặt \(f\left( x \right) = {x^2}\) và gọi M0 là điểm thuộc (P) với hoành độ x0. Khi đó tọa độ của điểm M0 là \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\,hay\,\left( {{x_0};x_0^2} \right)\)
Cách 1 : Ta có: \(y’ = 2x\). Phương trình tiếp điểm của (P) tại điểm M0 là
\(y = 2{x_0}\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 \Leftrightarrow y = 2{x_0}x - x_0^2\)
Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1) nên ta có :
\( - 1 = 2{x_0}.0 - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1\)
+ Với x0 = 1 thì f(x0) = 1, f ’(x0) = 2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :
\(y = 2\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\)
+ Với x0 = -1 thì f(x0) = 1, f ’(x0) = -2
và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :
\(y = - 2\left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = - 2x - 1\)
Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua
A với các phương trình tương ứng là: \(y = ±2x – 1\)
Cách 2 : Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0 ; -1) với hệ số góc k là :
\(y = kx - 1\)
Để (d) tiếp xúc (P) tại điểm M0 điều kiện cần và đủ là:
\(\left\{ {\matrix{ {f\left( {{x_0}} \right) = k{x_0} - 1} \cr {f'\left( {{x_0}} \right) = k} \cr } } \right.\,hay\,\left\{ {\matrix{ {x_0^2 = k{x_0} - 1} \cr {2{x_0} = k} \cr } } \right.\)
Khử x0 từ hệ này ta tìm được \(k = ±2\).
Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(0 ; -1) với các phương trình là :
\(y = \pm 2x - 1\)
Câu 25 trang 205 trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm số. Đạo hàm đóng vai trò then chốt trong việc xác định tính đơn điệu, cực trị của hàm số, và là nền tảng cho nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác.
Trước khi đi vào giải chi tiết câu 25, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức cơ bản:
Để giải quyết hiệu quả câu 25, bạn cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ:
(Lưu ý: Vì đề bài cụ thể của câu 25 có thể khác nhau tùy theo phiên bản SGK, chúng ta sẽ đưa ra một ví dụ minh họa.)
Đề bài: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Các bài tập tương tự câu 25 thường yêu cầu:
Mẹo giải:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, bạn nên luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong sách giáo khoa, sách bài tập, và các đề thi thử.
Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tốt!
