Bài 2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

1. Định nghĩa hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Kí hiệu: ΔABC ~ ΔA'B'C'

Điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng là:

∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C'
AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'

2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

a. Trường hợp góc - góc (g-g)

Nếu hai góc của một tam giác bằng hai góc của một tam giác khác thì hai tam giác đó đồng dạng.

Ví dụ: Nếu ∠A = ∠A' và ∠B = ∠B' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'

b. Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c)

Nếu hai cạnh của một tam giác tỉ lệ với hai cạnh của một tam giác khác và góc xen giữa hai cạnh đó bằng góc xen giữa hai cạnh tương ứng của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

Ví dụ: Nếu AB/A'B' = AC/A'C' và ∠A = ∠A' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'

c. Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)

Nếu ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với ba cạnh của một tam giác khác thì hai tam giác đó đồng dạng.

Ví dụ: Nếu AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'

3. Ứng dụng của việc đồng dạng tam giác

Việc chứng minh hai tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong việc giải toán hình học, đặc biệt là trong việc tính độ dài các đoạn thẳng và góc.

Ví dụ, nếu biết hai tam giác đồng dạng và độ dài một số cạnh, ta có thể sử dụng tỉ lệ thức để tính độ dài các cạnh còn lại.

4. Bài tập ví dụ

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có cạnh A'B' = 9cm. Tính độ dài các cạnh A'C' và B'C'.

Lời giải: Vì ΔABC ~ ΔA'B'C' nên ta có:

AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'

Thay số: 6/9 = 8/A'C' = 10/B'C'

Từ 6/9 = 8/A'C' suy ra A'C' = (8 * 9)/6 = 12cm

Từ 6/9 = 10/B'C' suy ra B'C' = (10 * 9)/6 = 15cm

Vậy A'C' = 12cm và B'C' = 15cm.