Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2 trong chương 3 của sách Toán 11 tập 1, Chân trời sáng tạo, tập trung vào khái niệm giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm then chốt trong toán học, đặc biệt là trong giải tích, và là nền tảng cho việc hiểu các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân.

1. Định nghĩa giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Định nghĩa này có thể được hiểu theo hai chiều: khi x tiến tới a từ bên trái và khi x tiến tới a từ bên phải.

2. Các tính chất của giới hạn

Có một số tính chất quan trọng của giới hạn mà chúng ta cần nắm vững:

Giới hạn của một tổng: lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
Giới hạn của một tích: lim_x→a [f(x) * g(x)] = lim_x→a f(x) * lim_x→a g(x)
Giới hạn của một thương: lim_x→a [f(x) / g(x)] = lim_x→a f(x) / lim_x→a g(x) (với lim_x→a g(x) ≠ 0)
Giới hạn của một hằng số: lim_x→a c = c (với c là hằng số)

3. Các dạng giới hạn thường gặp

Trong quá trình giải toán, chúng ta thường gặp một số dạng giới hạn quen thuộc:

a. Giới hạn vô cùng

Khi x tiến tới vô cùng (x → ∞ hoặc x → -∞), hàm số có thể tiến tới một giá trị hữu hạn, vô cùng dương hoặc vô cùng âm.

b. Giới hạn tại vô cùng của phân thức

Để tính giới hạn của một phân thức tại vô cùng, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x ở mẫu.

c. Giới hạn của hàm số dạng (0/0) hoặc (∞/∞)

Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital (nếu hàm số thỏa mãn điều kiện) hoặc biến đổi đại số để khử dạng vô định.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Ta có thể phân tích tử số thành (x - 2)(x + 2). Khi đó:

lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4

Ví dụ 2: Tính lim_x→∞ (2x² + 1) / (x² + 3)

Chia cả tử và mẫu cho x², ta được:

lim_x→∞ (2x² + 1) / (x² + 3) = lim_x→∞ (2 + 1/x²) / (1 + 3/x²) = 2/1 = 2

5. Bài tập áp dụng

Tính lim_x→3 (x² - 9) / (x - 3)
Tính lim_x→∞ (3x + 2) / (x - 1)
Tính lim_x→0 sin(x) / x

Bài 2. Giới hạn của hàm số là một bước quan trọng trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các dạng giới hạn thường gặp sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.