Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hàm số và đồ thị để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm về tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 1, giúp các em học sinh hiểu sâu sắc kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
Tìm các giới hạn sau:
Đề bài
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x + 3}}{{2x}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{3x + 1}}\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.
Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn để tính giới hạn.
Lời giải chi tiết
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x + 3}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {4 + \frac{3}{x}} \right)}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 + \frac{3}{x}}}{2} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 4 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{x}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 2}} = \frac{{4 + 0}}{2} = 2\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{x\left( {3 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{3 + \frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x}.\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 2}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x}}} = 0.\frac{2}{{3 + 0}} = 0\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x}}} = \frac{{\sqrt {1 + 0} }}{{1 + 0}} = 1\)
Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Bài 3 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = 2x3 - 3x2 + 1 và thực hiện các yêu cầu sau:
1. Tập xác định:
Hàm số f(x) = 2x3 - 3x2 + 1 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là tập số thực, tức là D = ℝ.
2. Tính f(0), f(1), f(2):
3. Tìm các điểm uốn, cực đại, cực tiểu:
Để tìm các điểm uốn, cực đại, cực tiểu, ta cần tính đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của hàm số:
a. Tìm cực trị:
Giải phương trình f'(x) = 0:
6x2 - 6x = 0 ⇔ 6x(x - 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1
Xét dấu f'(x):
| x | -∞ | 0 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 1 và đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu là f(1) = 0.
b. Tìm điểm uốn:
Giải phương trình f''(x) = 0:
12x - 6 = 0 ⇔ x = 1/2
Xét dấu f''(x):
| x | -∞ | 1/2 | +∞ |
|---|---|---|---|
| f''(x) | - | + | |
| f(x) | ∩ | ∪ |
Vậy hàm số có điểm uốn tại x = 1/2, giá trị tại điểm uốn là f(1/2) = 2(1/2)3 - 3(1/2)2 + 1 = 1/4 - 3/4 + 1 = 1/2.
4. Vẽ đồ thị hàm số:
Dựa vào các thông tin đã tính toán, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = 2x3 - 3x2 + 1. Đồ thị hàm số có các đặc điểm sau:
Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về hàm số và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị và điểm uốn. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về Bài 3 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và tự tin hơn trong việc học tập môn Toán.
