Bài 2. Phép đồng dạng

Phép đồng dạng là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan đến sự tương đồng giữa các hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích chi tiết về phép đồng dạng, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng phép đồng dạng, và ứng dụng của nó trong chương trình Toán 11 Cánh Diều.

1. Định nghĩa phép đồng dạng

Một phép đồng dạng là một phép biến hình bảo toàn tỷ lệ khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nói cách khác, nếu có hai điểm A và B, sau khi thực hiện phép đồng dạng, khoảng cách giữa A' và B' (hình ảnh của A và B qua phép đồng dạng) sẽ bằng một hằng số k (k > 0) nhân với khoảng cách giữa A và B.

Công thức tổng quát:

A'B' = k.AB

Trong đó:

• A, B là hai điểm bất kỳ trong mặt phẳng.
• A', B' là hình ảnh của A và B qua phép đồng dạng.
• k là tỷ số đồng dạng (k > 0).

2. Tính chất của phép đồng dạng

Phép đồng dạng có những tính chất quan trọng sau:

• Bảo toàn tính thẳng hàng: Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ba điểm A', B', C' cũng thẳng hàng.
• Bảo toàn góc: Góc giữa hai đường thẳng không đổi sau phép đồng dạng.
• Bảo toàn khoảng cách: Khoảng cách giữa hai điểm sau phép đồng dạng được nhân với tỷ số đồng dạng k.
• Biến đường tròn thành đường tròn: Phép đồng dạng biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng k lần bán kính của đường tròn ban đầu.

3. Các dạng phép đồng dạng

Có hai dạng phép đồng dạng cơ bản:

3.1 Phép vị tự

Phép vị tự là một phép đồng dạng đặc biệt, trong đó tất cả các điểm đều được biến đổi theo cùng một hướng và cùng một tỷ lệ so với một điểm cố định gọi là tâm vị tự.

Công thức của phép vị tự:

V_O(k)(M) = M'

Trong đó:

• O là tâm vị tự.
• k là tỷ số vị tự.
• M là điểm ban đầu.
• M' là hình ảnh của M qua phép vị tự.

3.2 Phép đồng dạng gồm một phép vị tự và một phép đối xứng

Dạng phép đồng dạng này là sự kết hợp của một phép vị tự và một phép đối xứng qua một đường thẳng hoặc một điểm.

4. Ứng dụng của phép đồng dạng

Phép đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác của toán học, bao gồm:

• Vẽ bản đồ: Phép đồng dạng được sử dụng để tạo ra các bản đồ thu nhỏ hoặc phóng to của một khu vực địa lý.
• Thiết kế kỹ thuật: Phép đồng dạng được sử dụng để tạo ra các mô hình thu nhỏ của các sản phẩm hoặc công trình.
• Nghiên cứu hình học: Phép đồng dạng là một công cụ quan trọng để nghiên cứu và chứng minh các định lý hình học.

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC và điểm O. Dựng tam giác A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O, tỷ số k = 2.

Bài 2: Chứng minh rằng hai tam giác đồng dạng là ảnh của nhau qua một phép đồng dạng.

6. Kết luận

Bài 2. Phép đồng dạng là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 11 Cánh Diều. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất, và các dạng phép đồng dạng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và đầy đủ về phép đồng dạng.