Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 21 trong chương trình Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức tập trung vào việc giải các phương trình và bất phương trình chứa mũ và lôgarit. Đây là một phần quan trọng của chương trình, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit, cũng như các phương pháp giải toán cơ bản.

I. Phương trình mũ

Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Để giải phương trình mũ, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

1. Đưa về cùng cơ số: Nếu phương trình có dạng a^f(x) = a^g(x), thì f(x) = g(x).
2. Lấy lôgarit hai vế: Nếu phương trình có dạng a^f(x) = b, thì f(x) = log_ab.
3. Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, ta có thể đặt ẩn phụ để đơn giản hóa phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình 2^x+1 = 8.

Ta có 2^x+1 = 2³, suy ra x+1 = 3, do đó x = 2.

II. Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Để giải bất phương trình mũ, ta cần xét dấu của cơ số:

• Nếu a > 1, thì a^f(x) > a^g(x) tương đương với f(x) > g(x).
• Nếu 0 < a < 1, thì a^f(x) > a^g(x) tương đương với f(x) < g(x).

Ví dụ: Giải bất phương trình (1/2)^x > 1/8.

Ta có (1/2)^x > (1/2)³, suy ra x < 3 (do 0 < 1/2 < 1).

III. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Để giải phương trình lôgarit, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

1. Đưa về cùng cơ số: Nếu phương trình có dạng log_af(x) = log_ag(x), thì f(x) = g(x).
2. Sử dụng định nghĩa lôgarit: Nếu phương trình có dạng log_af(x) = b, thì f(x) = a^b.
3. Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, ta có thể đặt ẩn phụ để đơn giản hóa phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình log₂(x+1) = 3.

Ta có x+1 = 2³ = 8, suy ra x = 7.

IV. Bất phương trình lôgarit

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Để giải bất phương trình lôgarit, ta cần xét dấu của cơ số:

• Nếu a > 1, thì log_af(x) > log_ag(x) tương đương với f(x) > g(x).
• Nếu 0 < a < 1, thì log_af(x) > log_ag(x) tương đương với f(x) < g(x).

Ví dụ: Giải bất phương trình log₃(x-2) < 2.

Ta có x-2 < 3² = 9, suy ra x < 11. Đồng thời, điều kiện xác định của lôgarit là x-2 > 0, tức là x > 2. Vậy nghiệm của bất phương trình là 2 < x < 11.

V. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Giải phương trình: 3^2x-1 = 27
• Giải bất phương trình: (1/4)^x < 1/64
• Giải phương trình: log₅(2x-1) = 2
• Giải bất phương trình: log₂(x+3) > 4

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit. Chúc các em học tập tốt!