Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - SGK Toán 11 Nâng cao

I. Định nghĩa và điều kiện cần và đủ

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

II. Tính chất

1. Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mọi đường thẳng song song với d đều vuông góc với (P).
2. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với đường thẳng d thì (P) và (Q) song song với nhau.

III. Các dạng bài tập thường gặp

1. Chứng minh sự vuông góc: Sử dụng định nghĩa và các tính chất để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
2. Xác định góc: Tính góc giữa một đường thẳng và mặt phẳng.
3. Bài toán ứng dụng: Giải các bài toán liên quan đến hình chóp, hình hộp, và các hình không gian khác.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

• Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với AC.
• Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có tan góc SCA = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2.
• Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng góc SCA và tan góc SCA = 1/√2.

Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, AA' = c. Chứng minh rằng AC vuông góc với mặt phẳng (A'BC).

Giải:

• Ta có AC vuông góc với BC (vì ABCD là hình chữ nhật).
• Ta có AC vuông góc với A'C (vì AA'B'B là hình chữ nhật).
• Do đó, AC vuông góc với mặt phẳng (A'BC) theo dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

V. Luyện tập

Để nắm vững kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, bạn nên luyện tập thêm các bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập thường gặp.

VI. Tổng kết

Bài học về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là nền tảng quan trọng cho việc học hình học không gian. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp một cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Chúc bạn học tốt!