Bài 3. Góc

Bài 3. Góc - SGK Toán 12: Lý thuyết và Phương pháp Giải Chi Tiết

Bài 3 trong SGK Toán 12 tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu về góc trong không gian, một khái niệm quan trọng trong hình học tọa độ. Hiểu rõ về góc giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữa các đường thẳng và mặt phẳng.

1. Góc Giữa Hai Đường Thẳng

Để tính góc giữa hai đường thẳng, ta sử dụng công thức dựa trên vector chỉ phương của hai đường thẳng đó. Gọi u và v là vector chỉ phương của hai đường thẳng d1 và d2. Góc θ giữa hai đường thẳng được tính bởi:

cos θ = |u.v| / (||u|| . ||v||)

Trong đó:

• u.v là tích vô hướng của hai vector u và v.
• ||u|| và ||v|| là độ dài của vector u và v.

2. Góc Giữa Đường Thẳng và Mặt Phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Gọi a là vector chỉ phương của đường thẳng và n là vector pháp tuyến của mặt phẳng. Góc φ giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính bởi:

sin φ = |a.n| / (||a|| . ||n||)

Trong đó:

• a.n là tích vô hướng của vector a và n.
• ||a|| và ||n|| là độ dài của vector a và n.

3. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp

Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

Để giải quyết dạng bài này, ta cần xác định vector chỉ phương của hai đường thẳng. Sau đó, áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng như đã trình bày ở trên.

Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1: x - 1 = y + 2 = z - 3 và d2: x = 2t, y = 1 + t, z = 3 - t. Tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.

Dạng 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để giải quyết dạng bài này, ta cần xác định vector chỉ phương của đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng. Sau đó, áp dụng công thức tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng như đã trình bày ở trên.

Ví dụ: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

4. Lưu Ý Quan Trọng

• Luôn kiểm tra xem các vector có cùng hướng hay không. Nếu không, cần lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng.
• Đảm bảo rằng các đơn vị đo lường là nhất quán.
• Sử dụng các công thức một cách chính xác và cẩn thận.

5. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình tham số như sau: ... Tính góc giữa hai đường thẳng.
2. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình như sau: ... Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
3. ...

Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến góc trong không gian. Chúc bạn học tập tốt!