Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.28 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tứ diện OABC có \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\), (\(a > 0,b > 0,c > 0\)). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là các góc giữa các mặt phẳng \((OAB)\), \((OBC)\), \((OAC)\) với mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.\)
Đề bài
Cho tứ diện OABC có \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\), (\(a > 0,b > 0,c > 0\)). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là các góc giữa các mặt phẳng \((OAB)\), \((OBC)\), \((OAC)\) với mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng:
\({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((OAB),(OBC),(OAC)\) và \((ABC)\), sau đó áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cosin của góc giữa các vectơ pháp tuyến.
Lời giải chi tiết
Độ dài của các vectơ pháp tuyến:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAB)\): \(\overrightarrow {{n_{OAB}}} = \overrightarrow {OA} \times \overrightarrow {OB} = (a,0,0) \times (0,b,0) = (0,0,ab)\).
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OBC)\): \(\overrightarrow {{n_{OBC}}} = \overrightarrow {OB} \times \overrightarrow {OC} = (0,b,0) \times (0,0,c) = (bc,0,0)\).
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAC)\): \(\overrightarrow {{n_{OAC}}} = \overrightarrow {OA} \times \overrightarrow {OC} = (a,0,0) \times (0,0,c) = (0,ac,0)\).
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\):
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = ( - a,b,0) \times ( - a,0,c) = (bc,ac,ab)\).
Tính cosin của các góc:
- \(\cos \alpha = \frac{{|ab \cdot ab|}}{{ab \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{ab \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}\).
- \(\cos \beta = \frac{{|bc \cdot bc|}}{{bc \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}\).
- \(\cos \gamma = \frac{{|ac \cdot ac|}}{{ac \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}\).
Tổng các bình phương:
\({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = {\left( {\frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}} \right)^2}\)
\( = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}} + \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}} + \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}}.\)
\( = \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}} = 1.\)
Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.\)
Bài tập 5.28 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Ví dụ minh họa: (Giả sử đề bài là tìm z sao cho |z - 1| = 2)
Đặt z = a + bi. Khi đó, |z - 1| = |(a - 1) + bi| = √((a - 1)² + b²) = 2.
Bình phương hai vế, ta được (a - 1)² + b² = 4. Đây là phương trình của một đường tròn trên mặt phẳng phức với tâm I(1, 0) và bán kính R = 2.
Vậy, tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 1| = 2 là đường tròn có tâm I(1, 0) và bán kính R = 2.
Ngoài bài tập 5.28, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến số phức. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về số phức, các em có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Bài tập 5.28 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về số phức và các phép toán liên quan. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải trên, các em sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục kiến thức Toán học. Chúc các em học tập tốt!
