Logo Header
  1. Môn Toán
  2. Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2

Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 của giaitoan.edu.vn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết các bài tập trong mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2.

Mục tiêu của chúng ta là nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng thành thạo vào các bài tập tương tự. Hãy cùng bắt đầu nhé!

Cho đường thẳng d có vector chỉ phương (vec a) và mặt phẳng ((alpha )) có vector pháp tuyến (vec n). Gọi d' là hình chiếu của d trên ((alpha )). Gọi (phi ) là góc giữa d và ((alpha )), còn (phi ') là góc giữa (vec a) và (vec n).

LT2

    Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá

    Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\)và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).

    Phương pháp giải:

    - Xác định vectơ chỉ phương \({\vec v_d} = (x',y',z')\) từ phương trình tham số của đường thẳng.

    - Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

    \(\sin \theta = \frac{{|{{\vec v}_d} \cdot \vec n|}}{{|{{\vec v}_d}||\vec n|}}\)

    với \({\vec v_d}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

    Lời giải chi tiết:

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec v_d} = (2,1,1)\).

    Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:

    - Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\)

    - Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\)

    - Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\)

    Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và các mặt phẳng:

    - Với mặt phẳng Oxy:

    \(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,0,1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

    Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

    - Với mặt phẳng Oxz:

    \(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,1,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

    Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

    - Với mặt phẳng Oyz:

    \(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (1,0,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|2|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)

    Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

    Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
    • HĐ2
    • LT2

    Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

    Cho đường thẳng d có vector chỉ phương \(\vec a\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vector pháp tuyến \(\vec n\). Gọi d' là hình chiếu của d trên \((\alpha )\). Gọi \(\phi \) là góc giữa d và \((\alpha )\), còn \(\phi '\) là góc giữa \(\vec a\) và \(\vec n\).

    Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

    Phương pháp giải:

    Áp dụng các tính chất:

    - φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).

    - Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.

    - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.

    Lời giải chi tiết:

    Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng \((\alpha )\) là hai góc phụ nhau.

    \(\varphi + \varphi ' = 90^\circ \) (góc phụ)

    Vì vậy:

    \(\cos \varphi = \cos (90^\circ - \varphi ') = \sin \varphi '\)

    \(\sin \varphi = \sin (90^\circ - \varphi ') = \cos \varphi '\)

    Do đó:

    \(\cos \varphi = \cos \varphi '\) là SAI

    \(\sin \varphi = \left| {\cos \varphi '} \right|\) là ĐÚNG

    Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá

    Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\)và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).

    Phương pháp giải:

    - Xác định vectơ chỉ phương \({\vec v_d} = (x',y',z')\) từ phương trình tham số của đường thẳng.

    - Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

    \(\sin \theta = \frac{{|{{\vec v}_d} \cdot \vec n|}}{{|{{\vec v}_d}||\vec n|}}\)

    với \({\vec v_d}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

    Lời giải chi tiết:

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec v_d} = (2,1,1)\).

    Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:

    - Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\)

    - Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\)

    - Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\)

    Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và các mặt phẳng:

    - Với mặt phẳng Oxy:

    \(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,0,1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

    Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

    - Với mặt phẳng Oxz:

    \(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,1,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

    Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

    - Với mặt phẳng Oyz:

    \(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (1,0,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|2|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)

    Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

    HĐ2

      Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

      Cho đường thẳng d có vector chỉ phương \(\vec a\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vector pháp tuyến \(\vec n\). Gọi d' là hình chiếu của d trên \((\alpha )\). Gọi \(\phi \) là góc giữa d và \((\alpha )\), còn \(\phi '\) là góc giữa \(\vec a\) và \(\vec n\).

      Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 0 1

      Phương pháp giải:

      Áp dụng các tính chất:

      - φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).

      - Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.

      - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.

      Lời giải chi tiết:

      Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng \((\alpha )\) là hai góc phụ nhau.

      \(\varphi + \varphi ' = 90^\circ \) (góc phụ)

      Vì vậy:

      \(\cos \varphi = \cos (90^\circ - \varphi ') = \sin \varphi '\)

      \(\sin \varphi = \sin (90^\circ - \varphi ') = \cos \varphi '\)

      Do đó:

      \(\cos \varphi = \cos \varphi '\) là SAI

      \(\sin \varphi = \left| {\cos \varphi '} \right|\) là ĐÚNG

      Tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán! Đừng bỏ lỡ Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá đặc sắc thuộc chuyên mục giải bài tập toán 12 trên nền tảng toán. Với bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả, sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào đại học mơ ước nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội!

      Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Tổng quan

      Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, trước tiên chúng ta cần nắm vững lý thuyết cơ bản và các công thức liên quan. Việc ôn tập kiến thức cũ là bước quan trọng để xây dựng nền tảng vững chắc.

      Nội dung chi tiết các bài tập trang 68

      Trang 68 thường chứa các bài tập áp dụng trực tiếp các kiến thức đã học. Các bài tập này thường có dạng:

      • Bài tập tính toán: Yêu cầu tính toán giá trị của biểu thức, giải phương trình, bất phương trình.
      • Bài tập chứng minh: Yêu cầu chứng minh một đẳng thức, bất đẳng thức, hoặc một tính chất nào đó.
      • Bài tập tìm điều kiện: Yêu cầu tìm điều kiện để một phương trình, bất phương trình có nghiệm.

      Để giải các bài tập này, chúng ta cần:

      1. Xác định đúng kiến thức cần sử dụng.
      2. Áp dụng các công thức, định lý một cách chính xác.
      3. Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.

      Nội dung chi tiết các bài tập trang 69

      Trang 69 thường chứa các bài tập nâng cao, đòi hỏi người học phải có khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Các bài tập này thường có dạng:

      • Bài tập kết hợp nhiều kiến thức: Yêu cầu kết hợp nhiều kiến thức khác nhau để giải quyết một vấn đề.
      • Bài tập tự luận: Yêu cầu người học trình bày lời giải một cách chi tiết, rõ ràng.
      • Bài tập trắc nghiệm: Yêu cầu người học lựa chọn đáp án đúng trong số các đáp án cho sẵn.

      Để giải các bài tập này, chúng ta cần:

      1. Phân tích đề bài một cách kỹ lưỡng.
      2. Xây dựng phương án giải phù hợp.
      3. Trình bày lời giải một cách logic, mạch lạc.

      Ví dụ minh họa giải bài tập mục 2 trang 68, 69

      Ví dụ 1: (Bài tập trang 68) Giải phương trình: 2x + 3 = 7

      Lời giải:

      2x + 3 = 7

      2x = 7 - 3

      2x = 4

      x = 2

      Ví dụ 2: (Bài tập trang 69) Chứng minh rằng: sin2x + cos2x = 1

      Lời giải:

      Ta có: sin2x + cos2x = (sin x)2 + (cos x)2

      Theo định lý Pytago trong tam giác vuông, ta có: (sin x)2 + (cos x)2 = 1

      Vậy, sin2x + cos2x = 1

      Mẹo giải bài tập Toán 12 hiệu quả

      • Nắm vững lý thuyết và công thức.
      • Luyện tập thường xuyên.
      • Tìm kiếm sự giúp đỡ khi gặp khó khăn.
      • Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập (ví dụ: máy tính bỏ túi, phần mềm giải toán).

      Kết luận

      Hy vọng rằng, với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh đã có thể tự tin giải các bài tập trong mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!

      Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 12