Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 4 thuộc chương 1, ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, là một trong những nội dung trọng tâm của chương trình Toán 12 Cánh Diều. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong bài học này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương tiếp theo.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định tập xác định: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
Tính đạo hàm cấp nhất: f'(x)
Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0.
Xác định khoảng đơn điệu: Xét dấu f'(x) trên các khoảng xác định để xác định khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
Tìm cực trị: Dựa vào dấu của f'(x) để xác định điểm cực đại và cực tiểu.
Tính đạo hàm cấp hai: f''(x)
Tìm điểm uốn: Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm uốn.
Xác định khoảng lồi và lõm: Xét dấu f''(x) trên các khoảng xác định để xác định khoảng hàm số lồi và lõm.
Tìm tiệm cận: Xác định các tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có).
Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin đã thu thập được để vẽ đồ thị hàm số.

II. Phương pháp giải bài tập

Khi giải các bài tập về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, cần chú ý:

Đọc kỹ đề bài: Xác định rõ hàm số cần khảo sát và các yêu cầu của bài toán.
Áp dụng đúng công thức: Sử dụng các công thức đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm một cách chính xác.
Phân tích kết quả: Đánh giá các kết quả tính toán được để đưa ra kết luận về tính chất của hàm số.
Vẽ đồ thị chính xác: Sử dụng các thông tin đã thu thập được để vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác và rõ ràng.

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Tập xác định: D = R
Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
Điểm tới hạn: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Khoảng đơn điệu:
- x < 0: y' > 0 => Hàm số đồng biến
- 0 < x < 2: y' < 0 => Hàm số nghịch biến
- x > 2: y' > 0 => Hàm số đồng biến
Cực trị:
- x = 0: Điểm cực đại, y(0) = 2
- x = 2: Điểm cực tiểu, y(2) = -2
Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6
Điểm uốn: 6x - 6 = 0 => x = 1
Khoảng lồi và lõm:
- x < 1: y'' < 0 => Hàm số lõm
- x > 1: y'' > 0 => Hàm số lồi
Tiệm cận: Hàm số không có tiệm cận.
Đồ thị: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x⁴ - 4x² + 3
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = (x - 1)²(x + 2)

Giaitoan.edu.vn hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong chương trình Toán 12 Cánh Diều.