Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài 4 trong chương 1 của sách Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 1 là một bước quan trọng trong việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để phân tích và biểu diễn các hàm số. Bài học này tập trung vào việc khảo sát sự biến thiên, tìm điểm cực trị, và vẽ đồ thị của một số hàm số cơ bản như hàm bậc ba, hàm phân thức hữu tỷ, và hàm chứa căn thức.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để giải quyết bài toán khảo sát hàm số, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Tập xác định: Xác định miền xác định của hàm số.
Sự biến thiên: Tính đạo hàm cấp nhất và xét dấu để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cực trị: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị. Xác định loại cực trị (cực đại, cực tiểu) bằng cách xét dấu đạo hàm cấp nhất hoặc sử dụng đạo hàm cấp hai.
Giới hạn vô cùng: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng và các điểm gián đoạn.
Bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên để tóm tắt các thông tin về sự biến thiên, cực trị, và giới hạn của hàm số.
Đồ thị hàm số: Vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã thu thập.

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập trong Bài 4, học sinh có thể áp dụng các bước sau:

Xác định hàm số: Đọc kỹ đề bài và xác định hàm số cần khảo sát.
Tính đạo hàm: Tính đạo hàm cấp nhất và đạo hàm cấp hai của hàm số.
Tìm điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị.
Lập bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên để tóm tắt các thông tin về sự biến thiên, cực trị, và giới hạn của hàm số.
Vẽ đồ thị: Vẽ đồ thị hàm số dựa trên bảng biến thiên và các thông tin khác.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2

Giải:

Tập xác định: D = ℝ
Đạo hàm: y' = 3x² - 6x
Điểm cực trị: y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Bảng biến thiên: (Bảng biến thiên được trình bày chi tiết với các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu)
Đồ thị: (Mô tả hình dạng đồ thị dựa trên bảng biến thiên)

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, học sinh có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Khảo sát hàm số y = -x³ + 3x² - 1
Bài 2: Khảo sát hàm số y = (x - 1)/(x + 1)
Bài 3: Khảo sát hàm số y = √(x - 2)

V. Lưu ý quan trọng

Khi khảo sát hàm số, học sinh cần chú ý:

Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm chính xác.
Phân tích đúng dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
Vẽ đồ thị chính xác dựa trên bảng biến thiên.

Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!