Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập toán học.
Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào các kiến thức cơ bản về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Sơ đồ khảo sát hàm số
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 3\).
a) Lập bảng biến thiên.
b) Vẽ đồ thị của hàm số.
Phương pháp giải:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(y' = - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); 2) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (2; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Hàm số đạt cực đại tại x =2 và \({y_{cd}} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - {x^2} + 4x - 3) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - {x^2} + 4x - 3) = + \infty \)
b) Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (1; 0) và (3; 0)
Điểm (2; 1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 3\).
a) Lập bảng biến thiên.
b) Vẽ đồ thị của hàm số.
Phương pháp giải:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(y' = - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); 2) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (2; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Hàm số đạt cực đại tại x =2 và \({y_{cd}} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - {x^2} + 4x - 3) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - {x^2} + 4x - 3) = + \infty \)
b) Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (1; 0) và (3; 0)
Điểm (2; 1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số
Mục 1 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một phần quan trọng trong chương trình học, tập trung vào việc củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản, công thức và phương pháp giải quyết bài toán.
Đạo hàm của một hàm số f(x) tại một điểm x0 được định nghĩa là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0. Ký hiệu đạo hàm của f(x) là f'(x) hoặc df/dx.
Để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp, chúng ta sử dụng các quy tắc sau:
Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 1 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo:
a) f(x) = 3x2 + 2x - 1
Lời giải: f'(x) = 6x + 2
b) f(x) = sin(2x)
Lời giải: f'(x) = 2cos(2x)
Lời giải: y' = [(2x)(x-1) - (x2 + 1)(1)]/(x-1)2 = (x2 - 2x - 1)/(x-1)2
Lời giải: f'(x) = 3x2 - 6x. Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2. Khảo sát dấu của f'(x) trên các khoảng xác định, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
Để học tốt môn Toán 12, các em cần:
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
