Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm

Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm - Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 4 trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào hai phép biến hình cơ bản và quan trọng trong hình học: phép quay và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững kiến thức về hai phép biến hình này là nền tảng để hiểu sâu hơn về các phép biến hình khác và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.

I. Phép quay

1. Định nghĩa: Phép quay tâm O với góc α (α đo theo độ, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và góc xOM' = xOM + α.

2. Tính chất:

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ:

Nếu phép quay tâm O(a; b) với góc α biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') thì:

• x' = (x - a)cosα - (y - b)sinα + a
• y' = (x - a)sinα + (y - b)cosα + b

II. Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa: Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM'.

2. Tính chất:

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ:

Nếu phép đối xứng tâm O(a; b) biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') thì:

• x' = 2a - x
• y' = 2b - y

III. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho điểm A(1; 2) và phép quay tâm O(0; 0) với góc 90° (chiều dương). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép quay đó.

Giải:

• x' = (1 - 0)cos90° - (2 - 0)sin90° + 0 = 0 - 2 + 0 = -2
• y' = (1 - 0)sin90° + (2 - 0)cos90° + 0 = 1 + 0 + 0 = 1

Vậy A'(-2; 1).

Ví dụ 2: Cho điểm B(3; -1) và phép đối xứng tâm I(1; 2). Tìm tọa độ điểm B' là ảnh của B qua phép đối xứng đó.

Giải:

• x' = 2(1) - 3 = -1
• y' = 2(2) - (-1) = 5

Vậy B'(-1; 5).

IV. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về phép quay và phép đối xứng tâm, các em cần thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online để luyện tập và củng cố kiến thức.

Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất, và biểu thức tọa độ của hai phép biến hình này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác hơn. Chúc các em học tốt!