Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Việc nắm vững kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho việc học các kiến thức nâng cao hơn về lượng giác.

I. Khái niệm phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản là phương trình có chứa hàm số lượng giác (sin, cos, tan, cot) và ẩn số là góc lượng giác. Mục tiêu của việc giải phương trình lượng giác là tìm ra tất cả các giá trị của ẩn số (góc) thỏa mãn phương trình.

II. Các dạng phương trình lượng giác cơ bản và cách giải

Phương trình sin(x) = a (với -1 ≤ a ≤ 1)

Để giải phương trình sin(x) = a, ta thực hiện các bước sau:

Tìm góc α sao cho sin(α) = a, với α ∈ [-π/2, π/2].
Nghiệm của phương trình là: x = α + k2π và x = π - α + k2π, với k ∈ Z.

Phương trình cos(x) = a (với -1 ≤ a ≤ 1)

Để giải phương trình cos(x) = a, ta thực hiện các bước sau:

Tìm góc α sao cho cos(α) = a, với α ∈ [0, π].
Nghiệm của phương trình là: x = α + k2π và x = -α + k2π, với k ∈ Z.

Phương trình tan(x) = a (với mọi a ∈ R)

Để giải phương trình tan(x) = a, ta thực hiện các bước sau:

Tìm góc α sao cho tan(α) = a, với α ∈ (-π/2, π/2).
Nghiệm của phương trình là: x = α + kπ, với k ∈ Z.

Phương trình cot(x) = a (với mọi a ∈ R)

Để giải phương trình cot(x) = a, ta thực hiện các bước sau:

Tìm góc α sao cho cot(α) = a, với α ∈ (0, π).
Nghiệm của phương trình là: x = α + kπ, với k ∈ Z.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 1/2

Ta có sin(π/6) = 1/2. Vậy nghiệm của phương trình là:

x = π/6 + k2π
x = π - π/6 + k2π = 5π/6 + k2π

với k ∈ Z.

Ví dụ 2: Giải phương trình cos(x) = -√2/2

Ta có cos(3π/4) = -√2/2. Vậy nghiệm của phương trình là:

x = 3π/4 + k2π
x = -3π/4 + k2π

với k ∈ Z.

IV. Lưu ý khi giải phương trình lượng giác

Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số lượng giác (ví dụ: tan(x) xác định khi x ≠ π/2 + kπ).
Sử dụng đúng công thức lượng giác và các phép biến đổi tương đương.
Biết cách biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình lượng giác.

V. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản, bạn có thể luyện tập các bài tập sau:

Giải phương trình sin(x) = √3/2
Giải phương trình cos(x) = 0
Giải phương trình tan(x) = 1
Giải phương trình cot(x) = -1

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, bạn đã hiểu rõ hơn về phương trình lượng giác cơ bản. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.