Chương 3. Hàm số bậc hai và đồ thị

Chương 3: Hàm số bậc hai và đồ thị - Lý thuyết Toán 10

1. Định nghĩa hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Hàm số bậc hai còn được gọi là parabol.

• a: Hệ số bậc hai, quyết định độ mở và chiều của parabol.
• b: Hệ số bậc nhất.
• c: Hệ số tự do.

2. Tập xác định của hàm số bậc hai

Tập xác định của hàm số bậc hai là tập hợp tất cả các số thực, ký hiệu là ℝ.

3. Đồ thị của hàm số bậc hai - Parabol

Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax² + bx + c là một parabol.

3.1. Hình dạng của parabol

Hình dạng của parabol phụ thuộc vào dấu của hệ số a:

• a > 0: Parabol có dạng chữ U, mở lên trên.
• a < 0: Parabol có dạng chữ U ngược, mở xuống dưới.

3.2. Đỉnh của parabol

Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (khi a > 0) hoặc điểm cao nhất (khi a < 0) của parabol. Tọa độ đỉnh I(x₀; y₀) được tính như sau:

• x₀ = -b / 2a
• y₀ = f(x₀) = a(x₀)² + b(x₀) + c

3.3. Trục đối xứng của parabol

Trục đối xứng của parabol là đường thẳng vuông góc với trục hoành và đi qua đỉnh I. Phương trình của trục đối xứng là x = x₀.

3.4. Giao điểm của parabol với trục hoành (nghiệm của phương trình bậc hai)

Giao điểm của parabol với trục hoành là các điểm có tung độ y = 0. Để tìm giao điểm, ta giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0.

• Δ = b² - 4ac: Biệt thức của phương trình bậc hai.
• Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂. Parabol cắt trục hoành tại hai điểm.
• Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂. Parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm.
• Δ < 0: Phương trình vô nghiệm. Parabol không cắt trục hoành.

4. Các dạng biểu diễn của hàm số bậc hai

4.1. Dạng tổng quát: y = ax² + bx + c

4.2. Dạng đỉnh: y = a(x - x₀)² + y₀

4.3. Dạng phân tích: y = a(x - x₁)(x - x₂)

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xác định hệ số a, b, c của hàm số y = 2x² - 5x + 3.

Bài 2: Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = x² - 4x + 1.

Bài 3: Xác định số nghiệm của phương trình 3x² + 2x - 1 = 0.

6. Kết luận

Chương 3 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về hàm số bậc hai và đồ thị của chúng. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.

Chúc bạn học tập tốt!