Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 1 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, cụ thể là xác định tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh nắm vững các khái niệm cơ bản và kỹ năng giải toán cần thiết.

I. Khái niệm cơ bản

1. Tính đơn điệu của hàm số:

• Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) < f(x2).
• Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) > f(x2).

2. Cực trị của hàm số:

• Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
• Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f(x) có cực trị tại điểm x0 thì f'(x0) = 0 và f'(x0) không đổi dấu khi x đi qua x0.

III. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

1. Điều kiện đủ để hàm số có cực đại tại x0:

• f'(x0) = 0
• f''(x0) < 0

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu tại x0:

• f'(x0) = 0
• f''(x0) > 0

IV. Phương pháp giải bài tập

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
3. Lập bảng xét dấu f'(x) để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
4. Sử dụng điều kiện cần và đủ để xác định cực đại, cực tiểu của hàm số.

V. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.

Giải:

• f'(x) = 3x^2 - 6x
• f'(x) = 0 <=> 3x^2 - 6x = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2
• f''(x) = 6x - 6
• f''(0) = -6 < 0 => Hàm số có cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2
• f''(2) = 6 > 0 => Hàm số có cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2

Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = sinx trên khoảng (0, π). Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.

Giải:

• f'(x) = cosx
• f'(x) = 0 <=> cosx = 0 <=> x = π/2
• f''(x) = -sinx
• f''(π/2) = -1 < 0 => Hàm số có cực đại tại x = π/2, giá trị cực đại là f(π/2) = 1

VI. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn nên tự giải các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức và các đề thi thử. Chúc bạn học tốt!