Bài 1.6 trang 9 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản về giới hạn và áp dụng các định lý để tính toán giới hạn của hàm số tại một điểm.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 1.6 trang 9 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chứng minh rằng hàm số (fleft( x right) = sqrt[3]{{{x^2}}}) không có đạo hàm tại (x = 0) nhưng có cực tiểu tại điểm (x = 0).
Đề bài
Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng có cực tiểu tại điểm \(x = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tập xác định của hàm số
- Tính giới hạn trái, phải tại điểm \(x = 0\) của \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\). So sánh hai kết quả đó với nhau, dựa vào kiến thức về định nghĩa đạo hàm tại một điểm để rút ra hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\) (do giới hạn trái và phải vừa tính khác nhau).
- Dùng định nghĩa về cực tiểu của hàm số để chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\).
Lời giải chi tiết
Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = - \infty;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = + \infty.\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) do đó hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 0\).
Mà \(f\left( x \right) > 0{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ne 0\) suy ra \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right){\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ne 0\), do đó hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\).
Bài 1.6 trang 9 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Nội dung bài tập 1.6 trang 9 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức:
Bài tập yêu cầu tính giới hạn của các hàm số tại một điểm cho trước. Các hàm số có thể có dạng đa thức, phân thức, hoặc chứa các hàm lượng giác. Để giải bài tập, học sinh cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ minh họa:
Giả sử cần tính giới hạn của hàm số f(x) = (x2 - 1) / (x - 1) khi x tiến tới 1.
Ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử: x2 - 1 = (x - 1)(x + 1).
Vậy, f(x) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1 (với x ≠ 1).
Khi đó, limx→1 f(x) = limx→1 (x + 1) = 1 + 1 = 2.
Lưu ý:
Khi tính giới hạn, cần chú ý đến các trường hợp sau:
Bài tập tương tự:
Để rèn luyện kỹ năng giải bài tập về giới hạn, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Ngoài ra, có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến trên các trang web học toán uy tín.
Kết luận:
Bài 1.6 trang 9 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về giới hạn của hàm số. Bằng cách hiểu rõ các khái niệm cơ bản, áp dụng các định lý và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán về giới hạn một cách hiệu quả.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Giới hạn của hàm số | Giá trị mà hàm số tiến tới khi x tiến tới một giá trị nhất định. |
| Dạng vô định | Biểu thức có giá trị không xác định, ví dụ 0/0, ∞/∞. |
